【2020北海道大学・文系・第３問】
\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする．\(1\) 個のさいころを続けて \(n\) 回投げる試行を行い，出た目を順に \(X_{1}\)， \(X_{2}\)， \(\cdots\)， \(X_{n}\) とする．
(１) \(X_{1}\)， \(X_{2}\)， \(\cdots\)， \(X_{n}\) の最大公約数が \(3\) となる確率を \(n\) の式で表せ．
(２) \(X_{1}\)， \(X_{2}\)， \(\cdots\)， \(X_{n}\) の最大公約数が \(1\) となる確率を \(n\) の式で表せ．
解答・解説
(１) \(X_{1}\)， \(X_{2}\)， \(\cdots\)， \(X_{n}\) の最大公約数が \(3\) となる確率
さいころを \(n\) 回投げて，すべての \(3\) または \(6\) の目が出たとき，
\(X_{1}\)， \(X_{2}\)， \(\cdots\)， \(X_{n}\) の最大公約数は \(3\) または \(6\) となる．
その中で最大公約数が \(6\) となるのは，すべての目が \(6\) となるときであるから，
求める確率は，\(\left(\displaystyle\frac{2}{6}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{2^n-1}{6^n}\)
(２) \(X_{1}\)， \(X_{2}\)， \(\cdots\)， \(X_{n}\) の最大公約数が \(1\) となる確率
最大公約数が \(1\) となる場合は様々なケースがあり複雑です。
直接考えることが難しい場合は，「余事象」を考えてみましょう！
最大公約数が \(k\) となる確率を \(P(k)\) とおく．(ただし \(k=1,2,3,4,5,6\) )
( ア ) \(k=2\) のとき
すべてが \(2\)，\(4\)，\(6\) の目が出たときの中で，
すべてが \(4\) の目が出たときと，すべてが \(6\) の目が出たとき以外であるから，
\(P(2)=\left(\displaystyle\frac{3}{6}\right)^n-2\times \left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{3^n-2}{6^n}\)
( イ ) \(k=3\) のとき
(１)より，\(P(3)=\displaystyle\frac{2^n-1}{6^n}\)
( ウ ) \(k=4\) のとき
すべての目が \(4\) となるときであるから，
\(P(4)=\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{6^n}\)
( エ ) \(k=5\) のとき
すべての目が \(5\) となるときであるから，
\(P(5)=\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{6^n}\)
( オ ) \(k=6\) のとき
すべての目が \(6\) となるときであるから，
\(P(6)=\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{6^n}\)
(ア)〜(オ)より
\(P(1)=1-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-P(6)\)
\(=1-\displaystyle\frac{3^n-2}{6^n}-\displaystyle\frac{2^n-1}{6^n}-\displaystyle\frac{1}{6^n}-\displaystyle\frac{1}{6^n}-\displaystyle\frac{1}{6^n}\)
よって，\(P(1)=\displaystyle\frac{6^n-3^n-2^n}{6^n}\)
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