【2020北海道大学・文系・第3問】
\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする.\(1\) 個のさいころを続けて \(n\) 回投げる試行を行い,出た目を順に \(X_{1}\), \(X_{2}\), \(\cdots\), \(X_{n}\) とする.
(1) \(X_{1}\), \(X_{2}\), \(\cdots\), \(X_{n}\) の最大公約数が \(3\) となる確率を \(n\) の式で表せ.
(2) \(X_{1}\), \(X_{2}\), \(\cdots\), \(X_{n}\) の最大公約数が \(1\) となる確率を \(n\) の式で表せ.
解答・解説
(1) \(X_{1}\), \(X_{2}\), \(\cdots\), \(X_{n}\) の最大公約数が \(3\) となる確率
さいころを \(n\) 回投げて,すべての \(3\) または \(6\) の目が出たとき,
\(X_{1}\), \(X_{2}\), \(\cdots\), \(X_{n}\) の最大公約数は \(3\) または \(6\) となる.
その中で最大公約数が \(6\) となるのは,すべての目が \(6\) となるときであるから,
求める確率は,\(\left(\displaystyle\frac{2}{6}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{2^n-1}{6^n}\)
(2) \(X_{1}\), \(X_{2}\), \(\cdots\), \(X_{n}\) の最大公約数が \(1\) となる確率
最大公約数が \(1\) となる場合は様々なケースがあり複雑です。
直接考えることが難しい場合は,「余事象」を考えてみましょう!
最大公約数が \(k\) となる確率を \(P(k)\) とおく.(ただし \(k=1,2,3,4,5,6\) )
( ア ) \(k=2\) のとき
すべてが \(2\),\(4\),\(6\) の目が出たときの中で,
すべてが \(4\) の目が出たときと,すべてが \(6\) の目が出たとき以外であるから,
\(P(2)=\left(\displaystyle\frac{3}{6}\right)^n-2\times \left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{3^n-2}{6^n}\)
( イ ) \(k=3\) のとき
(1)より,\(P(3)=\displaystyle\frac{2^n-1}{6^n}\)
( ウ ) \(k=4\) のとき
すべての目が \(4\) となるときであるから,
\(P(4)=\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{6^n}\)
( エ ) \(k=5\) のとき
すべての目が \(5\) となるときであるから,
\(P(5)=\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{6^n}\)
( オ ) \(k=6\) のとき
すべての目が \(6\) となるときであるから,
\(P(6)=\left(\displaystyle\frac{1}{6}\right)^n=\displaystyle\frac{1}{6^n}\)
(ア)〜(オ)より
\(P(1)=1-P(2)-P(3)-P(4)-P(5)-P(6)\)
\(=1-\displaystyle\frac{3^n-2}{6^n}-\displaystyle\frac{2^n-1}{6^n}-\displaystyle\frac{1}{6^n}-\displaystyle\frac{1}{6^n}-\displaystyle\frac{1}{6^n}\)
よって,\(P(1)=\displaystyle\frac{6^n-3^n-2^n}{6^n}\)
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