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【絶対値】方程式・不等式の解き方

基礎・標準まとめ

絶対値の方程式・不等式の解き方

 

タイプ⑴ \(| x の式 |=定数\)

【例題】

① \(| x |=2\)

② \(| x |<2\)

③ \(| x |>2\)

 

絶対値・・・原点からの距離

① は原点からの距離が 2 である場所

② は原点からの距離が 2 より近い場所

③ は原点からの距離が 2 より遠い場所

を意味している.

つまり、

① の答えは、\(x=-2 , 2\)

② の答えは、\(-2<x<2\)

③ の答えは、\(x<-2 , 2<x\)

となる.

 

【例題】

① \(| 2x+1 |=3\)

② \(| 2x+1 |<3\)

①において、\(2x+1=X\) と考えると、

\(| X |=3\) となるため、\(X=-3 , 3\)

つまり、\(2x+1=-3 , 3\)

よって、\(x=-2 , 1\)

 

②も同様に、\(2x+1=X\) と考えると、

\(| X |<3\) となるため、\(-3<X<3\)

つまり、\(-3<2x+1<3\)

よって、\(-2<x<1\)

 

タイプ⑵ \(| x の式 | = ( xの式)\)

先ほどのタイプ⑴のように、原点からの距離では処理できない!

理由としては、右辺が \(x\) の式になったためである.

例えば、\(| x の式 | = x \) と言う問題があったとき、

原点からの距離が \(x\) と考えたいが、\(x\) の値がマイナスになる可能性がある.

距離がマイナスと言うのは言うまでもなく無理である・・・

 

そこでタイプ⑵については、

👉 絶対値の中が正( 0 以上) または負( 0 以上) と場合分け

絶対値の外し方(場合分け)が心配な方は、

【絶対値の外し方(基本)】符号をとるは間違い

を参考に!

【例題】

① \(| x-4 |=3x\)

② \(| x-4 |<3x\)

①の解答

\(| x-4 |=\begin{cases}x-4 (x≧4)\\ -x+4 (x≦4)\end{cases}\) より

(ⅰ) \(x≧4\) のとき

\(x-4=3x\\x=-2\)

しかしこれは \(x≧4\) を満たさないため不適

 

(ⅱ) \(x≦4\) のとき

\(-x+4=3x\\x=1\)

これは \(x≦4\) を満たす

したがって、\(x=1\)

 

②の解答

\(| x-4 |=\begin{cases}x-4 (x≧4)\\ -x+4 (x≦4)\end{cases}\) より

 

( ⅰ ) \(x≦4\) のとき

\(-x+4<3x\\x>1\)

これと \(x≦4\) の共通部分を考えると、

\(1<x≦4\)

 

( ⅱ ) \(x≧4\) のとき

\(x-4<3x\\x>-2\)

これと \(x≧4\) の共通部分を考えると、

\(x≧4\)

 

(ⅰ)と(ⅱ)の和集合をとると、

\(1<x\)

 

タイプ⑶ 複数個の絶対値

【例題】

\(| x-1 | + | x-2 | =x\) を解け.

 

\(| x-1 |\) は \(x=1\) を境に、絶対値の場合分けを行った.

\(| x-2 |\) は \(x=2\) を境に、絶対値の場合分けを行った.

よって、\(x≦1 , 1≦x≦2 , 2≦x\) の 3 つに場合分けをして考える.

 

(ⅰ) \(x≦1\) のとき

\(| x-1 |=-x+1\)、\(| x-2 |=-x+2\) より

与式は、\(-x+1-x+2=x\)

\(x=1\)

これは \(x≦1\) を満たす

 

(ⅱ) \(1≦x≦2\) のとき

\(| x-1 |=-x+1\)、\(| x-2 |=x-2\) より

与式は、\(-x+1+x-2=x\)

\(x=-1\)

これは \(1≦x≦2\) を満たさないため不適

 

(ⅲ) \(2≦x\) のとき

\(| x-1 |=x-1\)、\(| x-2 |=x-2\) より

与式は、\(x-1+x-2=x\)

\(x=3\)

これは \(2≦x \) を満たす

したがって、\(x= 1 , 3\)

 

最後に

絶対の計算は、定期考査では頻出テーマ。

絶対値の中で場合分けを行う流れは、完全パターン!

しっかりと解法の流れを覚え、演習をしていきましょう!

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