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【2021・東京女子医科大学】指数対数 差がつく良問

数学(大学入試問題)

2021 東京女子医科大学 第4問

実数 \(x\)、\(y\) が \(x>0\)、\(y>0\)、\(xy^{1+log_{2}{x^2}}=1\) を満たしているとき、\(xy\) のとりうる値の範囲を求めよ.

指数対数に関する問題です。

医学部志望であれば、しっかりと完答したい1問です。

しかし記述で注意したいポイント、間違えやすいポイントがありますので、その点を中心に、しっかりと解説していきます。



解説・解答

対数関数を扱う際は、真数条件に関する記述は必須!

真数は必ず正!

対数を扱う上では常識ですね!

(xy^{1+log_{2}{x^2}}=1\) の両辺が正であるから、底を \(2\) とする対数をとると、

\(log_{2}{xy^{1+log_{2}{x^2}}}=log_{2}{1}=0\)

 

間違えやすいポイント

\(log_{a}{xy^M}=M log_{a}{xy}\) は間違い!

正しくは、\(log_{a}{xy^M}=log_{a}{x}+log_{a}{y^M}=log_{a}{x}+M log_{a}{y}\)

ちなみに \(log_{a}{(xy)^M}=M log_{a}{xy}\) だったらOK

\(log_{2}{xy^{1+log_{2}{x^2}}}\\=log_{2}{x}+log_{2}{y^{1+log_{2}{x^2}}}\\=log_{2}{x}+(1+log_{2}{x^2})log_{2}{y}\\=log_{2}{x}+(1+2log_{2}{x})log_{2}{y}\)

より

\(log_{2}{x}+(1+2log_{2}{x})log_{2}{y}=0\)

\(X=log_{2}{x}\)、\(Y=log_{2}{y}\) とおく.

文字置き換え 👉 範囲の確認!

\(x>0\)、\(y>0\) より、\(X\)、\(Y\) は任意の実数・・・① となる.

したがって、

\(X+(1+2X)Y=0\) ・・・ ②

 

このとき、\(log_{2}{xy}=log_{2}{x}+log_{2}{y}=X+Y\) のとりうる値の範囲を考える.

ここで、\(X+Y=k\) とおく.

\(Y=k-X\) を②に代入すると、

\(X+(1+2X)(k-X)=0\)

\(2X^2-2kX-k=0\) ・・・③

①において、③が実数解をもつとき

③の判別式を \(D\) として

\(\displaystyle\frac{D}{4}=k^2+2k≧0\)

\(k≦-2 , 0≦k\)

したがって、

\(log_{2}{xy}≦-2 , 0≦log_{2}{xy}\)

\(0<xy≦\displaystyle\frac{1}{4} , 1≦xy\)

 

医学部の問題でしたが、この問題を落とすのはダメージが大きい(不合格が近づいてしまう・・・)

指数・対数に不安がある人は、1度しっかりと参考書や問題集を使って演習を!


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