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【絶対値の外し方(基本)】符号をとるは間違い

基礎・標準まとめ

絶対値の外し方

・\(a≧0\) のとき \(| a | = a\)

・\(a≦0\) のとき \(| a | = -a\)

絶対値の外し方は

・絶対値の中が正( 0 以上)のとき、絶対値はそのまま外す

・絶対値の中が負( 0 以下)のとき、絶対値はマイナスを付けて外す

 

特に重要なのは、絶対値の中が負( 0 以下)のときであり、

マイナスをとると言う感覚を持っている人は絶対値が一生分からなくなります!

「マイナスを付ける」に頭の中を変更してください!

 

【基本例題】

① \(| 3 |\)

絶対値の中の 3 は正 ( 0以上 ) であるから、絶対値はそのまま外してよい

つまり、\(| 3 | = 3 \)

 

② \(| -3 |\)

絶対値の中の \(-3\) は負 ( 0以下 ) であるから、絶対値はマイナスを付けて外す

つまり、\(| -3 | = -(-3) = 3 \)

 

③ \(| \pi-4 |\)

絶対値の中の \(\pi-4\) は負 ( 0以下 ) であるから、絶対値はマイナスを付けて外す

つまり、\(| \pi-4 | = -(\pi-4) = -\pi+4 \)

 

④ \(| x-1 |\)

絶対値の中の \(x-1\) は正・負が分からない ( \(x\) の値によって変わる ).

だから、\(x\) について場合分けを行う

・\(x-1\) が正 ( 0 以上 ) のとき、絶対値はそのまま外すので、

\(| x-1 |=x-1\)

・\(x-1\) が負 ( 0 以下 ) のとき、絶対値はマイナスを付けて外すので、

\(| x-1 |=-(x-1)=-x+1\)

 

これをしっかりと記述すると、

(ⅰ) \(x-1≧0\)

つまり、\(x≧1\) のとき

\(| x-1 |=x-1\)

(ⅱ) \(x-1≦0\)

つまり、\(x≦1\) のとき

\(| x-1 |=-(x-1)=-x+1\)

以上から、

\(|x-1|=\begin{cases}x-1 (x≧1)\\ -x+1 (x≦1)\end{cases}\)

※等号に関しては、(ⅰ)、(ⅱ)のいずれか一方につければ問題ない(両方につけても問題ない).絶対にやってはいけないのが、両方に等号を付けないことである.

 

よく間違う絶対値の問題

\(\sqrt{x^2-2x+1}\) を簡単にせよ.

間違いの解答

\(\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}=x-1\)

であってる??

その解答は間違えているよ。

よくある間違いだけど、どこが間違えているかわかるかな?

 

正しい考え方

上の間違いは、

『 \(\sqrt{A^2}=A\) 』

だと思っていることです。

 

何が違うのか、具体的な例を用いて確認!

例① \(A=3\) のとき

\(\sqrt{3^2}=3\)

👆これは問題ないですよね?

 

それではこの例②はどうでしょうか?

例② \(A=-3\) のとき

\(\sqrt{(-3)^2}=-3\)

これは明らかに間違っていますね!

\(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\) が正解ですね。

具体的な数字であれば間違う人は少ないと思いますが、文字になると要注意。

 

\(\sqrt{A^2}=| A |\)

例②については、

\(\sqrt{(-3)^2}=| -3 |=-(-3)=3\) と言うことです!

 

正しい解答

\(\sqrt{x^2-2x+1}\) を簡単にせよ.

\(\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{(x-1)^2}=| x-1 |\) となる.

あとは、上の【例題】の④より、

\(|x-1|=\begin{cases}x-1 (x≧1)\\ -x+1 (x≦1)\end{cases}\)

 

https://mathmathmanabu.com/absolute-value2/

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