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【2021千葉大学】外接する3つの円と直線、等比数列・等比中項(a,b,cがこの順で等比数列)

数学(大学入試問題)

【2021千葉大学】

平面上に半径がそれぞれ \(a^2\) , \(b^2\) , \(c^2\) ( \(0<a<b<c\) ) の \(3\) つの円 \(A\) , \(B\) , \(C\) および直線 \(l\) がある.\(3\) つの円はどれも直線 \(l\) に接していて,どの \(2\) つの円も外接しているとする.

(1) \(c\) を \(a\) と \(b\) を用いて表せ.

(2) 数列 \(a\) , \(b\) , \(c\) が等比数列となるとき,その公比を求めよ.

(1)2つの円の位置関係

2つの円の半径を \(r\) , \(r^{\prime}\) ( \(r>r^{\prime}\) ) ,\(2\) 円の中心間の距離を \(d\) とする.

(1) 互いに外部にある

\(r+r^{\prime}>d\)

 

 

(2) 外接する(1点を共有する)

\(r+r^{\prime}=d\)

 

 

(3) 2点で交わる

\(r-r^{\prime}<d<r+r^{\prime}\)

 

 

(4) 内接する(1点を共有する)

\(r-r^{\prime}=d\)

 

 

(5) 一方が他方の内部にある

\(r-r^{\prime}>d\)

 

 

(1)解答・解説

円 \(A\) , \(B\) , \(C\) の中心の座標をそれぞれ \(A\) , \(B\) , \(C\) とし,またその各点から直線 \(l\) に下ろした垂線 \(AP\) , \(BQ\) , \(CR\) とする.

点 \(A\) から線分 \(BQ\) に下ろした垂線を \(AS\) とする.

\(2\) 円 \(A\) , \(B\) は外接するので,\(AB=a^2+b^2\)

また \(BS=BQ-SQ=BQ-AP=b^2-a^2\) であり,

直角三角形 \(ABS\) で三平方の定理から

\(AS=PQ=\sqrt{(a^2+b^2)^2-(b^2-a^2)^2}=2ab\)

同様に考え,\(QR=2bc\) , \(RP=2ca\) となる.

\(PQ+RP=QR\) より

\(2ab+2ca=2bc\)

\((b-a)c=ab\)

よって,\(c=\displaystyle\frac{ab}{b-a}\)

(2)等比中項

数列 \(a\) , \(b\) , \(c\) が等比数列 \(\iff\) \(b^2=ac\)

数列 \(a\) , \(b\) , \(c\) が等差数列 \(\iff\) \(2b=a+c\)

 

(2)解答・解説

数列 \(a\) , \(b\) , \(c\) は等比数列より

\(b^2=ac\) ・・・①

①と(1)より

\(b^2=a\cdot\displaystyle\frac{ab}{b-a}\)

式を整理すると

\(b^3-ab^2-a^2b=0\)

\(b(b^2-ab-a^2)=0\)

\(b>0\) であるから,

\(b^2-ab-a^2=0\) ・・・②

ここで,求める公比を \(r\) とおくと

\(b=ar\) ( \(r>1\) ) とおける.

②に代入すると

\(a^2(r^2-r-1)=0\)

\(a>0\) より \(r^2-r-1=0\)

\(r>1\) より

\(r=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

コメント

  1. 村田洸平 より:

    数学ど素人の質問です。

    b2 = a * ab/b-a を整理して、なぜ b2 -ab -a2 = 0 になるのでしょうか?
    私がやると b3 -ab2 – a2b = 0 になってしまいます。

    教えていただけると幸いです。

    • マス学ぶ より:

      マスマス学ぶの記事をご覧いただき、そしてコメントありがとうございます。
      b>0ですので、bで割りました。
      説明が省略されており、丁寧でなく申し訳ありません。
      追加説明を入れさせていただきました。
      今後ともよろしくお願いします。

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