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【数学Ⅱ・4STEP・363】log(11)2の小数第1位の数|対数・評価式

数学(大学入試問題)

【4STEP 363】

\(\log_{11}{2}\) の小数第 \(1\) 位の数を求めよ.

考え方(評価式)

\(\log_{11}{2}\) の値を直接的に求めることは困難でも、評価する(不等式で範囲を絞る)ことで、おおよその値を考えていきます。このような考え方は、難関大学ではよく出題されます。

初見ではどこから手を出したら良いかとても難しいかと思いますので、しっかりとここで経験を積み、様々な問題に応用できるようにしておきましょう!

\(\log_{11}{2}\) ⇒ \(2\) と \(11\) の累乗で評価

本問では、\(\log_{11}{2}\) についての話ですから、「 \(2\) 」と「 \(11\) 」に注目して考えます。

\(11^2=121\)、\(11^3=1331\)、\(11^4=14641\)、・・・であり、

これらに近い \(2^n\) となる \(n\) を頑張って探しましょう!

 

例えば、\(2^6=64\)、\(2^7=128\) であるから、

\(2^6<11^2<2^7\) を満たす.

この各辺に底を \(11\) とする対数をとると、

\(\log_{11}{2^6}<\log_{11}{11^2}<\log_{11}{2^7}\)

\(\iff\) \(6\log_{11}{2}<2<7\log_{11}{2}\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{2}{7}<\log_{11}{2}<\displaystyle\frac{1}{3}\)

\(\displaystyle\frac{2}{7}=0.285\cdots\)、\(\displaystyle\frac{1}{3}=0.333\cdots\) となり、

\(\log_{11}{2}\) の小数第 \(1\) 位の数は、\(2\) または \(3\) の可能性があり、しっかりと絞れていないため失敗!

このように、不等式で範囲を絞り、小数第 \(1\) 位の数が \(1\) つに決まるように探していきましょう!

 

解答

\(2^{10}=1024\)、\(2^{11}=2048\)、\(11^3=1331\) であるから、

\(2^{10}<11^3<2^{11}\) を満たす.

この各辺に底を \(11\) とする対数をとると、

\(\log_{11}{2^{10}}<\log_{11}{11^3}<\log_{11}{2^{11}}\)

\(\iff\) \(10\log_{11}{2}<3<11\log_{11}{2}\)

\(\iff\) \(\displaystyle\frac{3}{11}<\log_{11}{2}<\displaystyle\frac{3}{10}\)

\(\displaystyle\frac{3}{11}=0.272\cdots\)、\(\displaystyle\frac{3}{10}=0.3\) となり、

\(\log_{11}{2}\) の小数第 \(1\) 位の数は、\(2\) である.

 

類題入試問題演習

対数log{10}{2}、log{2}{3}の評価|近似値の求め方|小数第1、2位
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