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【整数問題】素数・背理法| 総合問題

数学(大学入試問題)

【問題】

\(p\)、\(q\) は素数で、\(p<q\) とする.

\(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{r}\) を満たす整数 \(r\) は存在しないことを示せ.

考え方

背理法の利用

\(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{r}\) を満たす整数 \(r\) が存在ると仮定して矛盾を導こう!

背理法については以下を参考に

【大学受験数学で使える】背理法の典型4パターン

整数問題 & 素数について

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

「素数」は積の形に弱い!

例:仮に素数 \(p\) に対して、\(p=ab\) の形に式変形をすることが出来れば、

\(a=1\) または \(b=1\) である必要がある.

 

解答(その1)

\(p\)、\(q\) は素数で、\(p<q\) とする.

\(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{r}\) を満たす整数 \(r\) は存在しないことを示せ.

\(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{r}\) ・・・ ①

を満たす整数 \(r\) が存在すると仮定する.

このとき、① を \(pqr\) 倍すると

\(r(p+q)=pq\) ・・・ ②

\(p\)、\(q\) は素数だから、

\(r = 1 , p , q , pq\)

 

・\(r=1\) のとき

②より、\(p+q=pq\)

\(p(q-1)=q\)

\(p≧2\)、\(q-1≧2\) であるから、これは \(q\) が素数であることに反する.

 

・\(r=p\) のとき

②より、\(p+q=q\)

よって \(p=0\) となり、これは \(p\) が素数であることに反する.

 

・\(r=q\) のとき

②より、\(p+q=p\)

よって \(q=0\) となり、これは \(q\) が素数であることに反する.

 

・\(r=pq\) のとき

②より、\(p+q=1\)

これは \(p≧2\)、\(q≧3\) に反する.

 

以上から、①を満たす整数 \(r\) は存在しない

解答(その2)・考え方

\(a\) と \(b\) が互いに素のとき

\(a\) と \(b\) が互いに素

\(\iff\) \(a+b\) と \(ab\) が互いに素

《証明》

\(a\) と \(b\) が互いに素であるとする.

このとき、\(a+b\) と \(ab\) が互いに素でないと仮定すると、

\(\begin{cases}a+b=Ap・・・(ア)\\ab=Bp ・・・(イ)\end{cases}\)

(\(A\)、\(B\) は整数)

を満たす素数 \(p\) が存在する.

(イ)より、\(a\)、\(b\) の一方は \(p\) の倍数であるから、仮に \(a=kp\) とおくと、

(ア)より、\(kp+b=Ap\)

\(b=p(A-k)\)

このとき \(b\) も \(p\) の倍数となる.

これは \(a\) と \(b\) が互いに素であることに矛盾する.

したがって、

\(a\) と \(b\) が互いに素 \(\iff\) \(a+b\) と \(ab\) が互いに素

解答(その2)

\(p\)、\(q\) は素数で、\(p<q\) とする.

\(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{r}\) を満たす整数 \(r\) は存在しないことを示せ.

\(\displaystyle\frac{1}{p}+\displaystyle\frac{1}{q}=\displaystyle\frac{1}{r}\) より

\(r=\displaystyle\frac{pq}{p+q}\) ・・・ ①

\(p\)、\(q\) は素数で、\(p<q\) より

\(p\)、\(q\) は互いに素である.

ゆえに、\(p+q\) と \(pq\) も互いに素であるので、①を満たす \(r\) が存在すると仮定すると、

\(p+q=1\) ・・・②

しかし、②を満たす素数\(p\)、\(q\) は存在しない.

 

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