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2021 近畿大学【数学Ⅱ・高次方程式】x=1+√5 i のときx^3-3x^2+3x-1の値

数学(大学入試問題)

【2021 近畿大学】

\(x=1+\sqrt{5}i\) のとき \(x^3-3x^2+3x-1\) の値を計算せよ.

ただし、\(i\) は虚数単位である.

考え方

\(x=1+\sqrt{5}i\) を \(x^3-3x^2+3x-1\) に素直に代入すると、

\(x^3-3x^2+3x-1\\=(1+\sqrt{5}i)^3-3(1+\sqrt{5}i)^2+3(1+\sqrt{5}i)-1 \)

 

この計算を頑張れば答えは出ますが・・・。

時として、このような計算力も必要ですので、是非一度は頑張ってやってほしいものですが・・・。

ここでは計算の工夫を行うことで、できるだけ簡単・計算ミスなく処理をするかについてお話をしていきます。

数学ができる人とそうでない人は、ただの計算1つをとっても差がつきます。

ただの計算と侮ることなく、しっかりと計算のテクニックを身につけましょう!

解法1(今回の問題のみ有効)

\(x^3-3x^2+3x-1\) の式をじ~っと見て見て下さい!

何か見えてきませんか??

これは有名な公式ですよね??

\(x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3\) !!

※\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) を利用

 

よって因数分解した形に \(x=1+\sqrt{5}i\) を代入すると、

\(x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3=(\sqrt{5}i)^3=-5\sqrt{5}i\)

 

この問題に限って言えば、この解法が最も簡単かつ早く処理できます。

しかし、多くの問題でここまで都合よく計算できるわけではありません

一般的(どのような数字でも)にただ代入するよりは早く処理できる解法を以下で紹介します。

解法2(幅広く使える解法)

次数下げ(式の割り算)をして余りに代入!

\(x=1+\sqrt{5}i\) より

\(x-1=\sqrt{5}i\)

2 乗して

\((x-1)^2=-5\)

展開して式を整理すると

\(x^2-2x+6=0\) ・・・①

\(x^3-3x^2+3x-1\) を①の左辺で割ると

\(x^3-3x^2+3x-1=(x-1)( x^2-2x+6)-5x+5\) ・・・②

 

\(x=1+\sqrt{5}i\) のとき

\(x^2-2x+6=0\) であるから、

②に \(x=1+\sqrt{5}i\) を代入すると言うのは、

余りの \(-5x+5\) に \(x=1+\sqrt{5}i\) を代入すればよい

 

したがって求める値は、

\(-5(1+\sqrt{5}i)+5=-5\sqrt{5}i \)

最後に

解法2の計算であれば、与えられる式の次数がいくらになっても、2 次式で割った余り(1次式以下)に代入するだけであるから、計算ミスが大きく減り、時間短縮にもなる。

また、3 次関数の極値を求める際の計算など、様々な分野でもこの計算は活用できるため、是非この計算の流れは身に付けておきたい!

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