【2023新潟大学・理系・第３問】集合と4次方程式｜部分集合と要素の個数

解答・解説

(１)　\(k=-1\) のとき，集合 \(A\) ，\(B\) ，\(A\cap B\) ，\(A\cup B\) を集合の要素を書き並べて表す方法により，それぞれ表せ．

\(k=-1\) のとき

\(A=\left\{ x | x^3-x^2-x+1=0\right\}=\left\{x|(x-1)^2(x+1)=0\right\}=\left\{-1,1\right\}\)

\(B=\left\{ x | x^3-x^2+x-1=0\right\}=\left\{x|(x-1)(x^2+1)=0\right\}=\left\{1\right\}\)

よって，\(A\cap B=\left\{1\right\}\) ，\(A\cup B=\left\{-1,1\right\}\)

(２)　集合 \(B\) が集合 \(A\) の部分集合となるような \(k\) の値をすべて求めよ．そのような \(k\) の値が存在しない場合は，その理由を述べよ．\(A=\left\{ x | x^3-x^2-(k^2+4k+4)x+k^2+4k+4=0\right\}\)

集合 \(A\) について

\(f(x)=x^3-x^2-(k^2+4k+4)x+k^2+4k+4\) とおくと，\(f(1)=0\) より

\(f(x)=(x-1)\left\{x-(k^2+4k+4)\right\}=(x-1)\left\{x^2-(k+2)^2\right\}\)

\(=(x-1)(x+k+2)(x-k-2)\) より

\(A=\left\{1,-k-2,k+2\right\}\)

集合 \(B\) について

\(g(x)=x^3-(k^2+3k+3)x^2+k^2x-k^4-3k^3-3k^2\) とおくと

\(g(x)=x^3-(k^2+3k+3)x^2+k^2x-k^2(k^2+3k+3)\)

\(=x(x^2+k^2)-(k^2+3k+3)(x^2+k^2)\)

\(=(x^2+k^2)(x-k^2-3k-3)\)

\(k\) は実数より \(k^2≧0\) なので，\(x^2+k^2=0\) をみたす実数解は \(k=0\)

このとき

\(A=\left\{-2,1,2\right\}\) ，\(B=\left\{0,3\right\}\) となり題意を満たさないため不適．

次に \(x=k^2+3k+3\) のとき

題意を満たすのは次のいずれかとなる．

( ⅰ )　\(k^2+3k+3=1\) のとき

\(k^2+3k+2=0\) \(\iff\) \((k+2)(k+1)=0\)

よって \(k=-2,-1\)

・\(k=-2\) のとき，\(A=\left\{0,1\right\}\) ，\(B=\left\{1\right\}\) となり適する．

・\(k=-1\) のとき，\(A=\left\{-1,1\right\}\) ，\(B=\left\{1\right\}\) となり適する．

( ⅱ )　\(k^2+3k+3=-k-2\) のとき

\(k^2+4k+5=0\) となるが，\((k+2)^2+1>0\) なので

\(k\) は実数解をもたない．

( ⅲ )　\(k^2+3k+3=k+2\) のとき

\((k+1)^2=0\) より \(k=-1\)

このとき，\(A=\left\{-1,1\right\}\) ，\(B=\left\{1\right\}\) となり適する．

したがって，求める \(k\) の値は \(k=-2,-1\)

(３)　集合 \(A\cup B\) の要素の個数を求めよ．

(２)より \(A=\left\{1,-k-2,k+2\right\}\) の要素の個数は

\(1=-k-2\) \(\iff\) \(k=-3\)

\(1=k+2\) \(\iff\) \(k=-1\)

\(-k-2=k+2\) \(\iff\) \(k=-2\)

つまり \(k=-3,-2,-1\) のとき \(2\) 個となり，それ以外のとき \(3\) 個となる．

また集合 \(B\) の要素の個数は，

\(k=0\) のとき \(2\) 個となり，\(k\not=0\) のとき \(1\) 個となる．

(２)の結果を配慮すると，求める集合の要素の個数は

・\(k=-2,-1\) のとき \(2\) 個

・\(k=-3\) のとき \(3\) 個

・\(k=0\) のとき \(5\) 個

・\(k\not=-3,-2,-1,0\) のとき \(4\) 個