【2007京都大学・第５問(文系)】
\(n\) を \(1\) 以上の整数とするとき，次の \(2\) つの命題はそれぞれ正しいか．正しいときは証明し，正しくないときはその理由を述べよ．
命題 \(p\)：ある \(n\) に対して，\(\sqrt{n}\) と \(\sqrt{n+1}\) は共に有理数である．
命題 \(q\)：すべての \(n\) に対して，\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) は無理数である．
考え方：答えを予想，方針について
証明の方針を考える前に，命題 \(p\) , \(q\) が正しいかどうかどうかを予想しましょう！
命題 \(p\)について
\(\sqrt{N}\) が有理数となるとき， \(N\) は自然数であるから，\(\sqrt{N}\) は自然数となる．
\(\sqrt{N} = 1 , 2 , 3 , \cdots\) のとき，\(N = 1 , 4 , 9 , \cdots\) であるから，
連続する \(2\) つの自然数に対して，\(\sqrt{N}\) と \(\sqrt{N+1}\) が共に自然数(有理数)にはならないと予想できる．
またどのように導くかについては，命題 \(q\) を意識し，
『 \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) 』を考えてみるのがよいだろう！
命題 \(q\)について
有理数や無理数に関する証明であるから，背理法を用いて考える．
解答
(１)
自然数 \(N\) に対して，\(\sqrt{N}\) が有理数ならば \(\sqrt{N}\) は整数となる．
ここで，\(0<\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<1\) より
\(\sqrt{n}\) が有理数(整数)であるとき，\(\sqrt{n+1}\) は整数にならない．
よって，\(\sqrt{n+1}\) は有理数でなく無理数である．
したがって，命題 \(p\) は正しくない
(２)
ある自然数 \(n\) に対して，\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) は有理数であると仮定すると，
互いに素な自然数 \(a\) , \(b\) を用いて
\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\displaystyle\frac{a}{b}\) ・・・① とおける．
\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\) より，①を代入して
\(\displaystyle\frac{a}{b}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\)
\(\iff\) \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\displaystyle\frac{b}{a}\) ・・・②
①，②より
\(\sqrt{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{b}{a}\right)\)
\(\sqrt{n}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{b}{a}-\displaystyle\frac{a}{b}\right)\)
よって，\(\sqrt{n}\)，\(\sqrt{n+1}\) はともに有理数となるが，これは命題 \(p\) に矛盾する．
したがって，すべての \(n\) に対して，\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) は無理数
つまり，命題 \(q\) は正しい．
コメント
(1)の回答の一行目、
どんなn∈N（n≧1）についても、（√n∈Q）→（√n∈Z）
…じゃないですか？
今書いてあることは証明中で役に立たないかな？と。
そもそも√2が無理数だと示せ、系をよく出す大学なので、それを一般化したより強い主張を証明なく使っていいものか…躊躇われますね。
マスマス学ぶをご覧いただき誠にありがとうございます。
大変申し訳ありません。考え方のところでは”ルート”をそれぞれ入れていたのですが、解答のところで入力間違いをしておりました。ただちに修正させていただきました。
間違いをご指摘いただき誠にありがとうございました。
より一層間違いがないように注意しながら、受験生に微力でも役立てられる内容を提供していきますので、これからもどうぞよろしくお願いします。
コメントいただき誠にありがとうございました。