スポンサーリンク

【2007京都大学】命題√n,√(n+1)はともに有理数?無理数?真偽証明

数学(大学入試問題)

【2007京都大学・第5問(文系)】

\(n\) を \(1\) 以上の整数とするとき,次の \(2\) つの命題はそれぞれ正しいか.正しいときは証明し,正しくないときはその理由を述べよ.

命題 \(p\):ある \(n\) に対して,\(\sqrt{n}\) と \(\sqrt{n+1}\) は共に有理数である.

命題 \(q\):すべての \(n\) に対して,\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) は無理数である.

考え方:答えを予想,方針について

証明の方針を考える前に,命題 \(p\) , \(q\) が正しいかどうかどうかを予想しましょう!

命題 \(p\)について

\(\sqrt{N}\) が有理数となるとき, \(N\) は自然数であるから,\(\sqrt{N}\) は自然数となる.

\(\sqrt{N} = 1 , 2 , 3 , \cdots\) のとき,\(N = 1 , 4 , 9 , \cdots\) であるから,

連続する \(2\) つの自然数に対して,\(\sqrt{N}\) と \(\sqrt{N+1}\) が共に自然数(有理数)にはならないと予想できる.

またどのように導くかについては,命題 \(q\) を意識し,

『 \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) 』を考えてみるのがよいだろう!

(1)→(2)→(3)→・・・と,入試問題は次の問題のヒントになっていることが多い。手が止まったら1問前、1問後を見る癖を!解決の糸口が見えてくるかもしれない!

命題 \(q\)について

有理数や無理数に関する証明であるから,背理法を用いて考える.

命題 \(p\) の結果,\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\) であることを利用

解答

(1)

自然数 \(N\) に対して,\(\sqrt{N}\) が有理数ならば \(\sqrt{N}\) は整数となる.

ここで,\(0<\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<1\) より

\(\sqrt{n}\) が有理数(整数)であるとき,\(\sqrt{n+1}\) は整数にならない.

よって,\(\sqrt{n+1}\) は有理数でなく無理数である.

したがって,命題 \(p\) は正しくない

(2)

ある自然数 \(n\) に対して,\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) は有理数であると仮定すると,

互いに素な自然数 \(a\) , \(b\) を用いて

\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\displaystyle\frac{a}{b}\) ・・・① とおける.

\((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\) より,①を代入して

\(\displaystyle\frac{a}{b}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})=1\)

\(\iff\) \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\displaystyle\frac{b}{a}\) ・・・②

①,②より

\(\sqrt{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{a}{b}+\displaystyle\frac{b}{a}\right)\)

\(\sqrt{n}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{b}{a}-\displaystyle\frac{a}{b}\right)\)

よって,\(\sqrt{n}\),\(\sqrt{n+1}\) はともに有理数となるが,これは命題 \(p\) に矛盾する.

したがって,すべての \(n\) に対して,\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) は無理数

つまり,命題 \(q\) は正しい.

コメント

  1. くぼ より:

    (1)の回答の一行目、
    どんなn∈N(n≧1)についても、(√n∈Q)→(√n∈Z)

    …じゃないですか?
    今書いてあることは証明中で役に立たないかな?と。

    そもそも√2が無理数だと示せ、系をよく出す大学なので、それを一般化したより強い主張を証明なく使っていいものか…躊躇われますね。

    • マス学ぶ より:

      マスマス学ぶをご覧いただき誠にありがとうございます。
      大変申し訳ありません。考え方のところでは”ルート”をそれぞれ入れていたのですが、解答のところで入力間違いをしておりました。ただちに修正させていただきました。
      間違いをご指摘いただき誠にありがとうございました。
      より一層間違いがないように注意しながら、受験生に微力でも役立てられる内容を提供していきますので、これからもどうぞよろしくお願いします。
      コメントいただき誠にありがとうございました。

タイトルとURLをコピーしました