【2023数学ⅡB(第1日程)】第１問[２](指数・対数関数)

(１)問題と解答・解説《ツ》

\(a>0\) ，\(a\not=1\) ，\(b>0\) のとき

\(\log_{a}{b}=x\) \(\iff\) \(a^x=b\) ・・・《ツ：②》

これは定義ですね！

しっかり覚えておきましょう！！

( ⅰ )

\(\log_{5}{25}=\log_{5}{5^2}=2\log_{5}{5}=\)\(2\) ・・・《テ》

\(\log_{9}{27}=\displaystyle\frac{\log_{3}{27}}{\log_{3}{9}}=\)\(\displaystyle\frac{3}{2}\) ・・・《トナ》

( ⅱ )　\(\log_{2}{3}\) が有理数であると仮定すると，\(\log_{2}{3}>0\) であるので，二つの自然数 \(p\)，\(q\) を用いて \(\log_{2}{3}=\displaystyle\frac{p}{q}\) と表すことができる．

このとき，(１)により

\(\log_{2}{3}=\displaystyle\frac{p}{q}\) \(\iff\) \(2^{\frac{p}{q}}=3\)

\(\iff\) \(2^p=3^q\) ・・・《ニ：⑤》

と変形できる．

いま，\(2\) は偶数であり \(3\) は奇数であるので，\(2^p=3^q\) を満たす自然数 \(p\)，\(q\) は存在しない．

したがって，\(\log_{2}{3}\) は無理数であることがわかる．

( ⅲ )　\(a\)，\(b\) を \(2\) 以上の自然数とするとき，( ⅱ ) と同様に考える

\(\log_{a}{b}\) が有理数であると仮定すると，\(\log_{a}{b}>0\) であるので，二つの自然数 \(p\)，\(q\) を用いて \(\log_{a}{b}=\displaystyle\frac{p}{q}\) と表すことができる．

\(\log_{a}{b}=\displaystyle\frac{p}{q}\) \(\iff\) \(a^p=b^q\)

これから矛盾を導くためには，\(a\)，\(b\) の偶奇が一致しなければ常に成立しないことがわかる．

したがって，《ヌ》は⑤ \(a\) と \(b\) のいずれか一方が偶数で，もう一方が奇数