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【2023共通テスト(第1日程)】数学ⅡB:第1問[1](指数・対数関数)|log23が無理数(背理法)

共通テスト(センター試験)

【2023数学ⅡB(第1日程)】第1問[2](指数・対数関数)

(1)問題と解答・解説《ツ》

(1)解答・解説《ツ》

\(a>0\) ,\(a\not=1\) ,\(b>0\) のとき

\(\log_{a}{b}=x\) \(\iff\) \(a^x=b\) ・・・《ツ:②》

これは定義ですね!

しっかり覚えておきましょう!!

(2)問題と解答・解説《テ〜ヌ》

(2)解答・解説《テ〜ヌ》

( ⅰ )

\(\log_{5}{25}=\log_{5}{5^2}=2\log_{5}{5}=\)\(2\) ・・・《テ》

\(\log_{9}{27}=\displaystyle\frac{\log_{3}{27}}{\log_{3}{9}}=\)\(\displaystyle\frac{3}{2}\) ・・・《トナ》

 

( ⅱ ) \(\log_{2}{3}\) が有理数であると仮定すると,\(\log_{2}{3}>0\) であるので,二つの自然数 \(p\),\(q\) を用いて \(\log_{2}{3}=\displaystyle\frac{p}{q}\) と表すことができる.

このとき,(1)により

\(\log_{2}{3}=\displaystyle\frac{p}{q}\) \(\iff\) \(2^{\frac{p}{q}}=3\)

\(\iff\) \(2^p=3^q\) ・・・《ニ:⑤》

と変形できる.

いま,\(2\) は偶数であり \(3\) は奇数であるので,\(2^p=3^q\) を満たす自然数 \(p\),\(q\) は存在しない.

したがって,\(\log_{2}{3}\) は無理数であることがわかる.

 

( ⅲ ) \(a\),\(b\) を \(2\) 以上の自然数とするとき,( ⅱ ) と同様に考える

\(\log_{a}{b}\) が有理数であると仮定すると,\(\log_{a}{b}>0\) であるので,二つの自然数 \(p\),\(q\) を用いて \(\log_{a}{b}=\displaystyle\frac{p}{q}\) と表すことができる.

\(\log_{a}{b}=\displaystyle\frac{p}{q}\) \(\iff\) \(a^p=b^q\)

これから矛盾を導くためには,\(a\),\(b\) の偶奇が一致しなければ常に成立しないことがわかる.

したがって,《ヌ》は⑤ \(a\) と \(b\) のいずれか一方が偶数で,もう一方が奇数

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