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【2022共通テスト】数学ⅡB:第2問(微分法・積分法)3次関数

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅡB】第2問(微分法・積分法)

[1](1)問題と解答・解説《ア〜イ》

解答・解説《ア〜イ》

\(f(x)=x^3-6ax+16\) より

\(f^{\prime}(x)=3x^2-6a\)

・\(a=0\) のとき

\(f^{\prime}(x)=3x^2≧0\) となり

\(x=0\) のときのみ \(f^{\prime}(x)=0\)

よって,\((0,16)\) で接線の傾きが \(0\) となり,

\(y=f(x)\) は単調増加なグラフとなる.

よって,① ・・・《ア》

・\(a<0\) のとき

\(-6a>0\) より,\(f^{\prime}(x)=3x^2-6a>0\)

よって \(y=f(x)\) は単調増加なグラフとなるので,⓪ ・・・《イ》

[1](1)(2)問題と解答・解説《ウ〜コ》

解答・解説《ウ〜コ》

(2) \(a>0\) のとき

\(f^{\prime}(x)=3(x^2-2a)\) なので

\(f^{\prime}(x)=0\) \(\iff\) \(x=\pm\sqrt{2a}\)

よって増減表は右のようになり,

\(f\left(-\sqrt{2a}\right)=\left(-\sqrt{2a}\right)^3-6a(-\sqrt{2a})+16=4\sqrt{2}a^{\frac{3}{2}}+16\)

\(f\left(\sqrt{2a}\right)=\left(\sqrt{2a}\right)^3-6a\sqrt{2a}+16=-4\sqrt{2}a^{\frac{3}{2}}+16\)

であるから,\(y=f(x)\) のグラフは右図のようになる.

\(y=p\) が \(3\) 個の共有点をもつとき

\(-4\sqrt{2}a^{\frac{3}{2}}+16<p<4\sqrt{2}a^{\frac{3}{2}}+16\) ・・・《ウ:③,エ:②》

\(p=-4\sqrt{2}a^{\frac{3}{2}}+16\) のとき

\(y=f(x)\) と \(y=p\) は \(2\) 個の共有点をもち,\(r=\sqrt{2a}\)

\(q\) の座標の求め方については,共通テストで使える変曲点を利用した裏技!

『(交点〜変曲点):(変曲点〜接点)=2:1』

の性質を利用して処理します。

変曲点についての裏技性質は⏬を参考に!

【共通テスト裏技】3次関数と接線|変曲点と接点と交点について
変曲点とは。2階微分で求める。極大と極小の中点。交点から変曲点までと、変曲点から接点までの距離の比が常に2:1になる性質。 入試問題で使える裏技公式・性質。共通テスト、私立大学試験の時間短縮裏技。

\(f(x)=x^3-6ax+16\) より

\(f^{\prime}(x)=3x^2-6a\)

\(f^{\prime\prime}(x)=6x\)

\(f^{\prime\prime}(x)=0\) より \(x=0\) (←変曲点の \(x\) 座標)

接点は \(x=r=\sqrt{2a}\) であるから,

『(交点〜変曲点):(変曲点〜接点)=2:1』の性質を利用すると

交点の \(x\) 座標は \(x=q=-2\sqrt{2a}\)

したがって,\(q=-2\sqrt{2}a^{\frac{1}{2}}\) , \(r=\sqrt{2}a^{\frac{1}{2}}\) ・・・《オ〜ク》

 

(3) 方程式 \(f(x)=0\) の異なる実数解の個数 \(n\) は,(1)より

\(a<0\) ならば \(n=1\) ・・・《ケ:①》

また,\(n=3\) となるのは \(a>0\) のときであるから,\(n=3\) ならば \(a>0\) ・・・《コ:④》

[2]問題と解答・解説《サ〜ノ》

解答・解説《サ〜ノ》

\(g(x)=h(x)\) のとき

\(g(x)-h(x)=(x^3-bx+3b^2)-(x^3-x^2+b^2)\)

\(=x^2-3bx+2b^2\)

\(=(x-b)(x-2b)\) より

\(C_{1}\) , \(C_{2}\) の交点は,\((x-b)(x-2b)=0\)

\(x= b , 2b\)

\(b>0\) , \(\alpha≦x≦\beta\) より,

\(\alpha=b\) , \(\beta=2b\) ・・・《サ〜ス》

\(\alpha≦x≦\beta\) において

\(g(x)-h(x)≦0\)

つまり \(g(x)≦h(x)\) であるから

\(y=g(x)\) と \(y=h(x)\) のグラフの概形の位置関係は右図のような位置関係になる.

よって,

\(S=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\left\{h(x)-g(x)\right\} dx\) ・・・《セ:②》

\(T=\displaystyle\int^{t}_{\beta}\left\{g(x)-h(x)\right\} dx\) ・・・《ソ:①》

であるから,

\(S-T=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\left\{h(x)-g(x)\right\} dx-\displaystyle\int^{t}_{\beta}\left\{g(x)-h(x)\right\} dx\)

\(=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\left\{h(x)-g(x)\right\} dx+\displaystyle\int^{t}_{\beta}\left\{h(x)-g(x)\right\} dx\)

\(=\displaystyle\int^{t}_{\alpha}\left\{h(x)-g(x)\right\} dx\) ・・・《タ:②》

よって,

\(S-T=\displaystyle\int^{t}_{b}(-x^2+3bx-2b^2) dx\)

\(=\Bigl[-\displaystyle\frac{1}{3}x^3+\displaystyle\frac{3}{2}bx^2-2b^2x\Bigr]^{t}_{b}\)

\(=\displaystyle\frac{-1}{6}(2t^3-9bt^2+12b^2t-5b^3)\) ・・・《チ〜ヌ》

\(S=T\) \(\iff\)  \(S-T=0\) のとき

\(-\displaystyle\frac{1}{6}(2t^3-9bt^2+12b^2t-5b^3)=0\)

\(-\displaystyle\frac{1}{6}(2t-5b)(t-b)^2=0\) であり

\(\alpha=b<t\) より,\(t=\displaystyle\frac{5}{2}b\) ・・・《ネノ》

【2022共通テスト】数学ⅡB:第4問(数列)|漸化式[階差数列,隣接二項間特性方程式]
歩行者と自転車が規則に従って移動する時間と距離に関して漸化式を考える。グラフから漸化式を立式。隣接二項間特性方程式型、階差数列型の頻出・典型パターンの漸化式。大学共通テスト対策。センター試験過去問演習。数学ⅡB:数列。新傾向
【2022共通テスト】数学ⅡB:第1問[2](指数関数・対数関数)
対数の性質、不等式に関する問題。例題をもとに誘導形式で一般化へ。底の値について場合分けして考える。後半は文字も多く、やや難。大学共通テスト対策。センター試験過去問演習。数学ⅡB:指数関数・対数関数。

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