スポンサーリンク

【2016神戸大学】空間ベクトルの一次独立|共線・共面条件[頻出・良問]

数学(大学入試問題)

【2016神戸大学・文理(一部)】

四面体 \(OABC\) において,\(P\) を辺 \(OA\) の中点,\(Q\) を辺 \(OB\) を \(2 : 1\) に内分する点,\(R\) を辺 \(BC\) の中点とする.\(P\) , \(Q\) , \(R\) を通る平面と辺 \(AC\) の交点を \(S\) とする.\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) とおく.以下の問に答えよ.

(1) \(\overrightarrow{PQ}\) , \(\overrightarrow{PR}\) をそれぞれ \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) を用いて表せ.

(2) 比 \(\left|\overrightarrow{AS}\right| : \left|\overrightarrow{SC}\right|\) を求めよ.

一次独立(空間のベクトル)

\(\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{c}\) が同一平面上にないとき

\(s_{1}\overrightarrow{a}+t_{1}\overrightarrow{b}+u_{1}\overrightarrow{c}=s_{2}\overrightarrow{a}+t_{2}\overrightarrow{b}+u_{2}\overrightarrow{c}\)

\(\iff\) \(s_{1}=s_{2}\) かつ \(t_{1}=t_{2}\) かつ \(u_{1}=u_{2}\)

ベクトルで係数比較したいときは必ず一次独立なベクトルであることを必ず記述を!

方針の立て方・考え方

点 \(S\) を \(2\) 通りで表す

①  点 \(S\) は辺 \(AC\) 上 ⇒ 共線条件

共線条件とは,異なる \(3\) 点が一直線上に並ぶときの条件

\(3\) 点 \(A\),\(B\),\(P\) が一直線上にあるとき

①  \(A\) を始点として考える( \(k\) は実数 )

\(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}\)

② 内分の公式の利用

\(AP : PB = k : 1-k\) とするとき

\(\overrightarrow{OP}=(1-k)\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}\)

③ ベクトル方程式

\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\) かつ \(s+t=1\)

( ただし, \(s\), \(t\) は実数 )

本問では共線条件②の考え方を利用して,

\(AS : SC = t : 1-t\) とおいて考えよう!

【2013京都大学】1次独立と共線条件・幾何(相似)を利用した別解
平面図形の問題を見たら幾何、ベクトル、座標の3パターンの解法を考える癖を!平行四辺形におけるAP:PQ。点P、Qをそれぞれ2通りずつで表し、APベクトル、AQベクトルを求める.受験数学における頻出・重要問題。数学Bベクトル。また幾何(相似)を利用した別解を紹介。

②  点 \(S\) は平面 \(PQR\) 上 ⇒ 共面条件

共面条件とは,異なる \(4\) 点が同一平面上に並ぶときの条件

(※  \(4\) 点が同一直線状であるときは除く)

\(4\) 点 \(A\),\(B\),\(C\), \(P\) が同一平面上にあるとき

①  \(A\) を始点として考える( \(k\),\(l\)  は実数 )

\(\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}+l\overrightarrow{AC}\)

② \(O\) を始点として考える( \(s\),\(t\),\(u\)  は実数 )

\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\) かつ \(s+t+u=1\)

共面条件①の考え方を利用して,

\(\overrightarrow{PS}=x\overrightarrow{PQ}+y\overrightarrow{PR}\) とおける.

【頻出】共面条件|空間ベクトル(数学B)4STEP 125
共面条件を用いた、四面体OABCにおける空間ベクトルでOPを求める典型頻出問題。点Pが平面ABC上のとき、OA,OB,OCの係数の和が1になる。数学B。4ステップ125。定期考査、共通テスト、2次試験対策。

解答

(1)

\(\overrightarrow{OP}=\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OQ}=\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{OR}=\displaystyle\frac{1}{2}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\) より

\(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)

\(\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OP}=-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\)

(2)

点 \(S\) は辺 \(AC\) 上より

実数 \(t\) ( \(0≦t≦1\) ) を用いて,\(AS : SC = t : 1-t\) とおくと

\(\overrightarrow{OS}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{c}\) ・・・①

また点 \(S\) は平面 \(PQR\) 上より

実数 \(x\) , \(y\) を用いて

\(\overrightarrow{PS}=x\overrightarrow{PQ}+y\overrightarrow{PR}\) とおける.

(1)より

\(\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=x\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\right)+y\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{c}\right)\)

よって,\(\overrightarrow{OS}=\displaystyle\frac{1-x-y}{2}\overrightarrow{a}+\left(\displaystyle\frac{2}{3}x+\displaystyle\frac{y}{2}\right)\overrightarrow{b}+\displaystyle\frac{y}{2}\overrightarrow{c}\) ・・・②

\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\) ,\(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\) は一次独立であるから,

①,②より

\(\displaystyle\frac{1-x-y}{2}=1-t\) かつ \(\displaystyle\frac{2}{3}x+\displaystyle\frac{y}{2}=0\) かつ \(\displaystyle\frac{y}{2}=t\)

これを解くと,\(t=\displaystyle\frac{2}{3}\) , \(x=-1\) , \(y=\displaystyle\frac{4}{3}\)

したがって,\(\left|\overrightarrow{AS}\right| : \left|\overrightarrow{SC}\right|=\displaystyle\frac{2}{3} : \displaystyle\frac{1}{3}= 2 : 1\)

コメント

タイトルとURLをコピーしました