【2023数学ⅡB(第1日程)】第1問[1](三角関数)
(1)問題と解答・解説《アイ》
(1)解答・解説《アイ》
\(x=\displaystyle\frac{\pi}{6}\) のとき
\(\sin x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{6}=\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(\sin 2x=\sin \displaystyle\frac{\pi}{3}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) より
\(\sin x<\sin 2x\) ・・・《ア:⓪》
\(x=\displaystyle\frac{2\pi}{3}\) のとき
\(\sin x=\sin \displaystyle\frac{2\pi}{3}=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin 2x=\sin \displaystyle\frac{4\pi}{3}=-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) より
\(\sin x>\sin 2x\) ・・・《イ:②》
(2)問題と解答・解説《ウ〜キ》
(2)解答・解説《ウ〜キ》
\(\sin 2x-\sin x=2\sin x\cos x-\sin x\)
\(=\)\(\sin x(2\cos x-1)\) ・・・《ウエ》
\(\sin 2x-\sin x>0\) が成り立つことは,
「\(\sin x>0\) かつ \(2\cos x-1>0\)」・・・①
または
「\(\sin x<0\) かつ \(2\cos x-1<0\)」・・・②
①のとき
\(\sin x>0\) かつ \(\cos x>\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(0≦x<2\pi\) より,\(0<x<\displaystyle\frac{\pi}{3}\) ・・・《オ》
②のとき
\(\sin x<0\) かつ \(\cos x<\displaystyle\frac{1}{2}\)
\(0≦x<2\pi\) より,\(\pi<x<\displaystyle\frac{5\pi}{3}\) ・・・《カキ》
(3)問題と解答・解説《ク〜セ》
(3)解答・解説《ク〜セ》
\(\sin 3x\) と \(\sin 4x\) の値の大小関係について
三角関数の加法定理を用いると
\(\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\) ・・・③
\(\begin{cases}\alpha+\beta=4x\\\alpha-\beta=3x \end{cases}\)
\(\iff\) \(\alpha=\displaystyle\frac{7x}{2}\) ,\(\beta=\displaystyle\frac{x}{2}\) より
③から
\(\sin 4x-\sin 3x=2\cos\displaystyle\frac{7x}{2}\sin\displaystyle\frac{x}{2}\)
\(\sin 4x-\sin 3x>0\) が成り立つことは
「\(\cos\displaystyle\frac{7x}{2}>0\) かつ \(\sin\displaystyle\frac{x}{2}>0\)」・・・④
または
「\(\cos\displaystyle\frac{7x}{2}<0\) かつ \(\sin\displaystyle\frac{x}{2}<0\)」・・・⑤
よって,《ク:\(a\) ,ケ:⑦》
ここで,\(0≦x≦\pi\) のとき
\(0≦\displaystyle\frac{x}{2}≦\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より \(\sin \displaystyle\frac{x}{2}≧0\)
よって⑤は成立しない.
④のとき \(0≦x≦\pi\) より \(0≦\displaystyle\frac{7x}{2}≦\displaystyle\frac{7\pi}{2}\) のとき
\(\cos\displaystyle\frac{7x}{2}>0\)
\(\iff\) \(0<\displaystyle\frac{7x}{2}<\displaystyle\frac{\pi}{2}\),\(\displaystyle\frac{3\pi}{2}<\displaystyle\frac{7x}{2}<\displaystyle\frac{5\pi}{2}\)
\(\iff\) \(0<x<\displaystyle\frac{\pi}{7}\),\(\displaystyle\frac{3\pi}{7}<x<\displaystyle\frac{5\pi}{7}\) ・・・⑥
⑥のとき \(\sin\displaystyle\frac{x}{2}>0\) は常に満たすので,
したがって求める範囲は,
\(0<x<\displaystyle\frac{\pi}{7}\),\(\displaystyle\frac{3\pi}{7}<x<\displaystyle\frac{5\pi}{7}\) ・・・《コ〜セ》
(4)問題と解答・解説《ソ〜チ》
(4)解答・解説《ソ〜チ》
\(\sin 3x>\sin 4x>\sin 2x\)
\(\iff\) \(\begin{cases}\sin 3x>\sin 4x\\\sin 4x>\sin 2x\end{cases}\)
・\(\sin 3x>\sin 4x\) のとき
(3)の結果を利用すると
\(\displaystyle\frac{\pi}{7}<x<\displaystyle\frac{3\pi}{7}\),\(\displaystyle\frac{5\pi}{7}<x≦\pi\) ・・・⑦
・\(\sin 4x>\sin 2x\) のとき
(2)の結果において \(x\) を \(2x\) と置き換えればよいので
\(0<2x<\displaystyle\frac{\pi}{3}\) ,\(\pi<2x<\displaystyle\frac{5\pi}{3}\)
\(\iff\) \(0<x<\displaystyle\frac{\pi}{6}\) ,\(\displaystyle\frac{\pi}{2}<x<\displaystyle\frac{5\pi}{6}\) ・・・⑧
⑦,⑧より
\(\displaystyle\frac{\pi}{7}<x<\displaystyle\frac{\pi}{6}\),\(\displaystyle\frac{5\pi}{7}<x<\displaystyle\frac{5\pi}{6}\) ・・・《ソ〜チ》
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