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合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

数学(大学入試問題)

前回、合同式の性質を確認しました。

基本性質に不安がある人は

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする
合同式とは?2次試験(数学)の整数の分野で合同式が使えるかどうかは大きな差がつきます。合同式を知らない、初めて習った人のための基本性質のまとめ。

を確認してください。

整数問題を扱う上で、合同式は必須アイテムです!

さて、ここでは基本的な問題を使って、実際に合同式を利用する練習をしていきます。

合同式を利用した問題を扱う上で、

合同式を使う

👉 とにかく小さい数にする!(理想は \(1\) に! )

ことを意識しながら解いていきましょう。

問題①

(1) \(37^{100}\) を \(6\) で割った余りを求めなさい.

(2) \(13^{100}\) を \(9\) で割った余りを求めなさい.

 

 

解答①

(2) \(9\) を法として

\(13≡4\) より  (← \(4\) より小さい数にしたい!)

\(13^2≡4^2=16≡7\)  (← \(7\) となり失敗)

\(13^3≡4^3=64≡1\)  (← \(1\) となり理想的!) ・・・①

①の両辺を \(33\) 乗すると、

\((13^3)^{33}≡1^{33}=1\)

つまり、\(13^{99}≡1\)

両辺を \(13\) 倍すると、

\(13^{100}≡13≡4\)

したがって、求める余りは \(4\)

問題②

\(n^2\) を \(3\) で割ったときの余りは、\(0\) または \(1\) となることを示せ.

 

3で割った余り

👉 mod3 で考える

 

解答②

合同式を利用することで、解答がスッキリ!

 

問題③

 

40の倍数

👉5の倍数 かつ 8の倍数

👉mod5 と mod8 を考える

解答③

問題③は二項定理などの別解もあります。

しかし合同式を利用する方が解答がシンプルになるため、合同式を利用した。

 

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