合同式とは？ modとは？
そもそも学校の授業で扱っていない人も多いかもしれません。
しかし２次試験（整数の分野）において、合同式を知っているかどうかは大きな差になります。
ここではまず合同式とは何か？どのような性質があるか、基本を抑えるためのページです。
公式は大丈夫！と言う人は、
にチャレンジ！
合同式とは？（具体例で意味を理解し、使いこなそう！）
合同式とは
と言われても・・・よく分からない・・・。
簡単に言うと
合同式
➡割り算の余りに注目した式
具体的な例で考えましょう！
「１０を３で割った余りは１」、「７を３で割った余りは１」 なので、
「１０を３で割った余り」＝「７を３で割った余り」が成立。
➡ 「１０ ≡ ７ (mod ３)」というルール
同様に、\(10≡7≡4≡1\) ( \(mod 3\) ) と言うことになります！
これを文字で一般的に
合同式は必要？
そもそも何のために合同式を利用するのか？
- 解答の表記が簡略化される
- 複雑な問題において、思考の助けとなる
「(１０を３で割った余り)と(７を３で割った余り)が等しい」と言うことを「１０≡７ ( mod ３ )」とシンプルに表記できます。たったこれだけ？と言われそうですが、複雑な問題になればなるほど効果は絶大！
また、表記が簡略化されるため、余計な情報が削られ、思考を伴う問題においてもメリットが見られます。
整数問題を扱う上で、合同式は必須アイテムです！
合同式の性質について
おえておきたい４つの性質
足し算
・１０≡７ ( mod ３ ) ・・・ ① [(１０を３で割った余り)＝(７を３で割った余り)]
・４≡１ ( mod ３ ) ・・・ ② [(４を３で割った余り)＝(１を３で割った余り)]
ここで①＋②を考えてみます。
左辺について「１０+４を３で割った余りは２」
右辺について「７＋１を３で割った余りは２」
となり等しいので
１０+４≡７+１ ( mod ３ ) となる．
これを文字で表すと
引き算
・１０≡７ ( mod ３ ) ・・・ ① [(１０を３で割った余り)＝(７を３で割った余り)]
・４≡１ ( mod 3 ) ・・・ ② [(４を３で割った余り)＝(１を３で割った余り)]
ここで①ー②を考えてみます。
左辺について「１０－４を３で割った余りは０」
右辺について「７－１を３で割った余りは０」
となり等しいので
１０－４≡７－１ ( mod ３ ) となる．
これを文字で表すと
かけ算
・１０≡７ ( mod ３ ) ・・・ ① [(１０を３で割った余り)＝(７を３で割った余り)]
・４≡１ ( mod ３ ) ・・・ ② [(４を３で割った余り)＝(１を３で割った余り)]
ここで①×②を考えてみます。
左辺について「１０×４を３で割った余りは１」
右辺について「７×１を３で割った余りは１」
となり等しいので
１０×４≡７×１ ( mod ３ ) となる．
これを文字で表すと
累乗（これはよく使う！）
上の掛け算の性質において、①×②➡①×①と考える(②を①に置き換える)
すると
１０×１０≡７×７ ( mod ３ ) となる．
つまり
１０2 ≡７2 ( mod ３ ) ・・・③
次に①×③を考えると
１０3 ≡７3 ( mod ３ )
あとはこれを繰り返すことで
４つの性質まとめ
わり算について（要注意）
合同式の計算は、割り算以外は基本的に普通に計算して良いと言うことだったが、割り算に関しては使用できるときに制限がある。
具体例
「２×１０を３で割った余りは２」
「２×７を３で割った余りは２」
となり等しいので、
２×１０≡２×７ ( mod ３ ) となる。
この両辺を２で割ると
１０≡７ ( mod ３ ) となり、この式は成立。
※２と３は互いに素であるから成立した！
「６×１０を３で割った余りは０」
「６×９を３で割った余りは０」
となり等しいので、
６×１０≡６×９ ( mod ３ ) となる。
この両辺を６で割ると
１０≡９ ( mod ３ ) となるがこの式は成立しない。
※６と３は互いに素でないため成立しない！
最初のうちは使わないことをお勧めします。
合同式に慣れ、使いこなせるようになってから使用するように！
基本的な性質をしっかり確認できたら、
にチャレンジしましょう！
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