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合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

数学(大学入試問題)

合同式とは? modとは?

そもそも学校の授業で扱っていない人も多いかもしれません。

しかし2次試験(整数の分野)において、合同式を知っているかどうかは大きな差になります。

ここではまず合同式とは何か?どのような性質があるか、基本を抑えるためのページです。

公式は大丈夫!と言う人は、

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習
合同式を使いこなすことで、整数分野の問題(余りに関する問題)を簡略化して処理できる。しかし慣れが必要であるため、基本的な問題を用いて合同式に慣れるための演習問題。 13の100乗を9で割った余り、nの2乗を3で割った余りなど、頻出問題を使って演習。
2018京都大学|n^3-7n+9が素数となるn(文系第3問、理系第2問)
素数に関する有名頻出問題。数学の2次試験で差がつきやすい整数分野の問題について、ただ答えが出せるだけの勉強ではなく、どのように考えるのか、思考過程を丁寧に解説。同じ問題は出ませんが、同じ形式の問題は出題されます。しっかりと考え方を学び、2次数学でしっかり得点源に!

にチャレンジ!

 

合同式とは?(具体例で意味を理解し、使いこなそう!)

合同式とは

と言われても・・・よく分からない・・・。

簡単に言うと

合同式

➡割り算の余りに注目した式

 

具体的な例で考えましょう!

「10を3で割った余りは1」、「7を3で割った余りは1」 なので、

「10を3で割った余り」=「7を3で割った余り」が成立。

➡ 「10 ≡ 7  (mod 3)」というルール

同様に、\(10≡7≡4≡1\) ( \(mod 3\) ) と言うことになります!

 

これを文字で一般的に

 

合同式は必要?

そもそも何のために合同式を利用するのか?

  • 解答の表記が簡略化される
  • 複雑な問題において、思考の助けとなる

「(10を3で割った余り)と(7を3で割った余り)が等しい」と言うことを「10≡7 ( mod 3 )」とシンプルに表記できます。たったこれだけ?と言われそうですが、複雑な問題になればなるほど効果は絶大!

また、表記が簡略化されるため、余計な情報が削られ、思考を伴う問題においてもメリットが見られます。

整数問題を扱う上で、合同式は必須アイテムです!

合同式の性質について

おえておきたい4つの性質

足し算

・10≡7 ( mod 3 ) ・・・ ① [(10を3で割った余り)=(7を3で割った余り)]

・4≡1 ( mod 3 ) ・・・ ②   [(4を3で割った余り)=(1を3で割った余り)]

 

ここで①+②を考えてみます。

左辺について「10+4を3で割った余りは2」

右辺について「7+1を3で割った余りは2」

となり等しいので

10+4≡7+1 ( mod 3 ) となる.

これを文字で表すと

引き算

・10≡7 ( mod 3 ) ・・・ ① [(10を3で割った余り)=(7を3で割った余り)]

・4≡1 ( mod 3 ) ・・・ ②   [(4を3で割った余り)=(1を3で割った余り)]

 

ここで①ー②を考えてみます。

左辺について「10-4を3で割った余りは0」

右辺について「7-1を3で割った余りは0」

となり等しいので

10-4≡7-1 ( mod 3 ) となる.

これを文字で表すと

かけ算

・10≡7 ( mod 3 ) ・・・ ① [(10を3で割った余り)=(7を3で割った余り)]

・4≡1 ( mod 3 ) ・・・ ②   [(4を3で割った余り)=(1を3で割った余り)]

 

ここで①×②を考えてみます。

左辺について「10×4を3で割った余りは1」

右辺について「7×1を3で割った余りは1」

となり等しいので

10×4≡7×1 ( mod 3 ) となる.

これを文字で表すと

累乗(これはよく使う!)

上の掛け算の性質において、①×②➡①×①と考える(②を①に置き換える)

すると

10×10≡7×7 ( mod 3 ) となる.

つまり

10≡72 ( mod 3 ) ・・・③

 

次に①×③を考えると

10≡73 ( mod 3 )

 

あとはこれを繰り返すことで

4つの性質まとめ

合同式の計算は、基本的に今まで通りの感覚で計算できる!

わり算について(要注意)

合同式の計算は、割り算以外は基本的に普通に計算して良いと言うことだったが、割り算に関しては使用できるときに制限がある

具体例

「2×10を3で割った余りは2」

「2×7を3で割った余りは2」

となり等しいので、

2×10≡2×7 ( mod 3 ) となる。

この両辺を2で割ると

10≡7 ( mod 3 ) となり、この式は成立。

※2と3は互いに素であるから成立した!

 

「6×10を3で割った余りは0」

「6×9を3で割った余りは0」

となり等しいので、

6×10≡6×9 ( mod 3 ) となる。

この両辺を6で割ると

10≡9 ( mod 3 ) となるがこの式は成立しない。

※6と3は互いに素でないため成立しない!

 

最初のうちは使わないことをお勧めします。

合同式に慣れ、使いこなせるようになってから使用するように!

合同式の割り算 👉 「互いに素」のときのみ

 

基本的な性質をしっかり確認できたら、

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習
合同式を使いこなすことで、整数分野の問題(余りに関する問題)を簡略化して処理できる。しかし慣れが必要であるため、基本的な問題を用いて合同式に慣れるための演習問題。 13の100乗を9で割った余り、nの2乗を3で割った余りなど、頻出問題を使って演習。
2018京都大学|n^3-7n+9が素数となるn(文系第3問、理系第2問)
素数に関する有名頻出問題。数学の2次試験で差がつきやすい整数分野の問題について、ただ答えが出せるだけの勉強ではなく、どのように考えるのか、思考過程を丁寧に解説。同じ問題は出ませんが、同じ形式の問題は出題されます。しっかりと考え方を学び、2次数学でしっかり得点源に!

にチャレンジしましょう!

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