n^2の下2桁がnと一致するような2桁の自然数｜解法２通り｜整数問題

解答①

まず初めに，下 \(1\) 桁(一の位) に注目する．

\(2\) 乗しても下 \(1\) 桁がもとの数と一致する数は，

「 \(0\) ，\(1\) ，\(5\) ，\(6\)  」のいずれか．

よって \(1≦a≦9\) を満たす整数 \(a\) を用いて，

\(n=10a\)，\(10a+1\)，\(10a+5\)，\(10a+6\) のいずれかの形で表すことができる．

( ⅰ )　\(n=10a\) のとき

\(n^2=100a^2\) となり，\(n^2\) の下 \(2\) 桁の数は「 \(00\) 」となるので不適．

( ⅱ )　\(n=10a+1\) のとき

\(n^2=100a^2+20a+1\) より，

\(n^2\) の下 \(2\) 桁の数は，\(20a+1\) の下 \(2\) 桁の数に等しい．

ここで，\(a=1,2,\cdots,9\) としたとき，

\(n=10a+1\) と \(20a+1\) の下 \(2\) 桁の数が等しくなることはない．

よって不適である．

( ⅲ )　\(n=10a+5\) のとき

( ⅱ ) と同様に考えると，\(a=2\) のとき成り立つ

よって，\(n=25\) のとき成り立つ

(※\(25^2=625\) となり成立)

( ⅳ )　\(n=10a+6\) のとき

( ⅱ ) と同様に考えると，\(a=7\) のとき成り立つ

よって，\(n=76\) のとき成り立つ

(※\(76^2=5776\) となり成立)

したがって，条件を満たす \(n\) は \(25\)，\(76\)

解答② 合同式の利用(発展)

合同式を利用します。合同式は整数問題では必須アイテム！

不安な方、未履修の方は「合同式とは？合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」を参考にしてください。

\(n^2\) の下 \(2\) 桁が \(n\) と一致するとき

\(n^2≡n\) \(\iff\) \(n(n-1)≡0\)　( \(mod 100\) )

ここで，\(n\) と \(n-1\) は連続する \(2\) つの自然数であるから，互いに素となる．

「連続する \(2\) つの自然数であるから，互いに素」は有名な性質ですね！ぜひ覚えておきましょう！証明については、「【2005東京大学】3 以上 999 以下の奇数aで、a^2-aが 10000 で割り切れる整数」で紹介しています。ご参考に！

\(\begin{cases}n≡0　( mod 4)\\n-1≡0　( mod 25)\end{cases}\) または \(\begin{cases}n≡0　( mod 25)\\n-1≡0　( mod 4)\end{cases}\)

\(\iff\) \(\begin{cases}n≡0　( mod 4)\\n≡1　( mod 25)\end{cases}\) または \(\begin{cases}n≡0　( mod 25)\\n≡1　( mod 4)\end{cases}\)

( ⅰ )　\(n≡0　( mod 4) ，n≡1　( mod 25)\) のとき

\(n≡1　( mod 25)\) を満たす \(2\) 桁の自然数は，

\(26\)，\(51\)，\(76\) のいずれか．

この中で \(n≡0　( mod 4 )\) を満たすのは， \(76\)

( ⅱ )　\(n≡0　( mod 25) ，n≡1　( mod 4)\) のとき

\(n≡0　( mod 25)\) を満たす \(2\) 桁の自然数は，

\(25\)，\(50\)，\(75\) のいずれか．

この中で \(n≡1　( mod 4 )\) を満たすのは， \(25\)

したがって，条件を満たす \(n\) は \(25\)，\(76\)