【問題】
\(n^2\) の下 \(2\) 桁が \(n\) と一致するような \(2\) 桁の自然数 \(n\) をすべて求めよ.
解答①
まず初めに,下 \(1\) 桁(一の位) に注目する.
\(2\) 乗しても下 \(1\) 桁がもとの数と一致する数は,
「 \(0\) ,\(1\) ,\(5\) ,\(6\) 」のいずれか.
よって \(1≦a≦9\) を満たす整数 \(a\) を用いて,
\(n=10a\),\(10a+1\),\(10a+5\),\(10a+6\) のいずれかの形で表すことができる.
( ⅰ ) \(n=10a\) のとき
\(n^2=100a^2\) となり,\(n^2\) の下 \(2\) 桁の数は「 \(00\) 」となるので不適.
( ⅱ ) \(n=10a+1\) のとき
\(n^2=100a^2+20a+1\) より,
\(n^2\) の下 \(2\) 桁の数は,\(20a+1\) の下 \(2\) 桁の数に等しい.
ここで,\(a=1,2,\cdots,9\) としたとき,
\(n=10a+1\) と \(20a+1\) の下 \(2\) 桁の数が等しくなることはない.
よって不適である.
( ⅲ ) \(n=10a+5\) のとき
( ⅱ ) と同様に考えると,\(a=2\) のとき成り立つ
よって,\(n=25\) のとき成り立つ
(※\(25^2=625\) となり成立)
( ⅳ ) \(n=10a+6\) のとき
( ⅱ ) と同様に考えると,\(a=7\) のとき成り立つ
よって,\(n=76\) のとき成り立つ
(※\(76^2=5776\) となり成立)
したがって,条件を満たす \(n\) は \(25\),\(76\)
解答② 合同式の利用(発展)

合同式を利用します。合同式は整数問題では必須アイテム!
不安な方、未履修の方は「合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」を参考にしてください。
\(n^2\) の下 \(2\) 桁が \(n\) と一致するとき
\(n^2≡n\) \(\iff\) \(n(n-1)≡0\) ( \(mod 100\) )
ここで,\(n\) と \(n-1\) は連続する \(2\) つの自然数であるから,互いに素となる.

「連続する \(2\) つの自然数であるから,互いに素」は有名な性質ですね!ぜひ覚えておきましょう!証明については、「【2005東京大学】3 以上 999 以下の奇数aで、a^2-aが 10000 で割り切れる整数」で紹介しています。ご参考に!
\(\begin{cases}n≡0 ( mod 4)\\n-1≡0 ( mod 25)\end{cases}\) または \(\begin{cases}n≡0 ( mod 25)\\n-1≡0 ( mod 4)\end{cases}\)
\(\iff\) \(\begin{cases}n≡0 ( mod 4)\\n≡1 ( mod 25)\end{cases}\) または \(\begin{cases}n≡0 ( mod 25)\\n≡1 ( mod 4)\end{cases}\)
( ⅰ ) \(n≡0 ( mod 4) ,n≡1 ( mod 25)\) のとき
\(n≡1 ( mod 25)\) を満たす \(2\) 桁の自然数は,
\(26\),\(51\),\(76\) のいずれか.
この中で \(n≡0 ( mod 4 )\) を満たすのは, \(76\)
( ⅱ ) \(n≡0 ( mod 25) ,n≡1 ( mod 4)\) のとき
\(n≡0 ( mod 25)\) を満たす \(2\) 桁の自然数は,
\(25\),\(50\),\(75\) のいずれか.
この中で \(n≡1 ( mod 4 )\) を満たすのは, \(25\)
したがって,条件を満たす \(n\) は \(25\),\(76\)
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