【2005 東京大学（文理共通）】
3 以上 999 以下の奇数 \(a\) で、\(a^2-a\) が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ．
整数問題のPoint
まず整数問題すべてに共通して言えるPointは
- 積の形に変形
- 条件から範囲を絞る
- 倍数や余りに注目
整数問題の多くが、上の１から３のいずれかで処理できます。
この３つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください！
【補題】連続する２つの自然数は互いに素
互いに素であることの証明について
互いに素であることの証明について
- 最大公約数 \(g\) が１であることを直接示す
- 背理法（最大公約数 \(g\) が２以上と仮定）の利用
- ユークリッドの互除法の利用
- 「\(a , b\) が互いに素」\(\Leftrightarrow\) 「\(ax+by=1\) が整数解をもつ」の利用
【証明】
連続する２つの自然数を \(n , n+1\) とし、その最大公約数を \(g\) とおく．
\begin{cases} n = ga ・・・①\\ n+1 = gb ・・・② \end{cases}
\(a , b\) は互いに素な自然数、\(a<b\) とおく．
② – ①より
\(g(b-a)=1\)
\(b-a>0\)、\(b-a\) は自然数より、\(g=1\)
よって連続する２つの自然数は互いに素となる
「連続する２つの整数は互いに素である」ことは１つの性質として覚えておこう！
2005 東京大学（文理共通）
3 以上 999 以下の奇数 \(a\) で、\(a^2-a\) が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ．
考え方・思考の仕方・解答
まずは整数問題のPOINTの１つ目の「積の形」に変形しよう！
自然数 \(n\) を用いて、
\(a^2-a=10000n\)
\((a-1) a = 2^4\times 5^4\times n\)
\begin{cases} a-1 = 2^4\times x\\ a = 5^4\times y \end{cases}
\(a\) を消去すると
１次不定方程式だね！
\(( x , y )=( 39 , 1 )\) は①の解の１組より
\begin{cases} x-39=625k\\ y-1=16k \end{cases}
よって
\(a=625(16k+1)=10000k+625\)
\(a\) は 3 以上 999 以下の奇数より \(k=0\) のとき
\(a=625\)
最後に
いかがだったでしょうか？
この問題はぜひ完答したい問題です。
「連続する２つの整数が互いに素であること」が差を分ける問題となります。
まずはこの性質をしっかりと覚え使いこなせるように！
余力がある人は証明もできるようにしておきましょう！
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