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【2005東京大学】3 以上 999 以下の奇数aで、a^2-aが 10000 で割り切れる整数

数学(大学入試問題)

【2005 東京大学(文理共通)】

3 以上 999 以下の奇数 \(a\) で、\(a^2-a\) が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ.

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

【補題】連続する2つの自然数は互いに素

互いに素であることの証明について

互いに素であることの証明について

  1. 最大公約数 \(g\) が1であることを直接示す
  2. 背理法(最大公約数 \(g\) が2以上と仮定)の利用
  3. ユークリッドの互除法の利用
  4. 「\(a , b\) が互いに素」\(\Leftrightarrow\) 「\(ax+by=1\) が整数解をもつ」の利用
※互いに素・・・最大公約数が「1」である
連続する2つの自然数は互いに素であることを示せ.

【証明】

連続する2つの自然数を \(n , n+1\) とし、その最大公約数を \(g\) とおく.

\begin{cases} n = ga ・・・①\\ n+1 = gb ・・・② \end{cases}

\(a , b\) は互いに素な自然数、\(a<b\) とおく.

② – ①より

\(g(b-a)=1\)

\(b-a>0\)、\(b-a\) は自然数より、\(g=1\)

よって連続する2つの自然数は互いに素となる

「連続する2つの整数は互いに素である」ことは1つの性質として覚えておこう!

2005 東京大学(文理共通)

3 以上 999 以下の奇数 \(a\) で、\(a^2-a\) が 10000 で割り切れるものをすべて求めよ.

考え方・思考の仕方・解答

まずは整数問題のPOINTの1つ目の「積の形」に変形しよう!

自然数 \(n\) を用いて、

\(a^2-a=10000n\)

\((a-1) a = 2^4\times 5^4\times n\)

\(a-1 , a\) (連続する2つの整数)は互いに素!
\(a-1 , a\) は互いに素であり、また \(a\) は奇数であるから、
互いに素な自然数 \(x , y\) を用いて

\begin{cases} a-1 = 2^4\times x\\ a = 5^4\times y  \end{cases}

\(a\) を消去すると

\(-16x+625y=1\) ・・・①

\(( x , y )=( 39 , 1 )\) は①の解の1組より

\(-16\times 39+625\times 1=1\) ・・・②
① ー ②より
\(-16(x-39)+625(y-1)=0\)
\(16(x-39)=625(y-1)\)
16と625は互いに素であるから、整数 \(k\) を用いて

\begin{cases} x-39=625k\\ y-1=16k  \end{cases}

よって

\(a=625(16k+1)=10000k+625\)

\(a\) は 3 以上 999 以下の奇数より \(k=0\) のとき

\(a=625\)

最後に

いかがだったでしょうか?

この問題はぜひ完答したい問題です。

「連続する2つの整数が互いに素であること」が差を分ける問題となります。

まずはこの性質をしっかりと覚え使いこなせるように!

余力がある人は証明もできるようにしておきましょう!

 

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