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【因数分解】解法手順・公式まとめ

数学(大学入試問題)

因数分解の手順

  1. 共通因数でくくる(分母も!)
  2. 公式の利用
  3. 最低次数の文字に注目

手順1:共通因数でくくる(分母も!)

【例題】\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2y-\displaystyle\frac{1}{3}xy^2\) を因数分解せよ.

共通因数 \(xy\) だけでなく、分母もくくろう!

【解答】

\(\displaystyle\frac{1}{2}x^2y-\displaystyle\frac{1}{3}xy^2=\displaystyle\frac{1}{6}xy(3x-2y)\)

 

手順2:因数分解の公式一覧

  • \(x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\)
  • \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)
  • \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)
  • \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)
  • \(acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\) [たすきがけ]
  • \(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\)
  • \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
  • \(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

公式はちゃんと正しく覚えて使いこなそう!

手順3:最低次数の文字に注目【例題①】

【例題①】\(x^3+x^2y-x^2-y\) を因数分解せよ.

共通因数はない。

公式も使えない。

だから手順3を考える!

最低次数の文字について降べきの順に並べる

\(x^3+x^2y-x^2-y\) において、

\(x\) , \(y\) のそれぞれの次数に注目すると、

\(x\)・・・3 次式

\(y\)・・・1 次式

つまり、次数の低い \(y\) に注目して、降べきの順に並べる

 

\(x^3+x^2y-x^2-y=(x^2-1)y+(x^3-x^2)\)

 

それぞれで因数分解

\(x^3+x^2y-x^2-y=(x^2-1)y+(x^3-x^2)\) において、

・\((x^2-1)y=(x+1)(x-1)y\)

・\((x^3-x^2)=x^2(x-1)\) より

 

\(x^3+x^2y-x^2-y\\=(x^2-1)y+(x^3-x^2)\\=(x+1)(x-1)y+x^2(x-1)\)

共通因数でくくる or 式全体でたすきがけ

\(x^3+x^2y-x^2-y=(x+1)(x-1)y+x^2(x-1)\) において、

\(x-1\) の共通因数を持つため、

 

\(x^3+x^2y-x^2-y\\=(x^2-1)y+(x^3-x^2)\\=(x+1)(x-1)y+x^2(x-1)\\=(x-1)\left\{(x+1)y+x^2\right\}\\=(x-1)(x^2+xy+y)\)

手順3:最低次数の文字に注目【例題②】

【例題①】\(2x^2+5xy+3y^2-3x-5y-2\) を因数分解せよ.

最低次数の文字について降べきの順に並べる

\(2x^2+5xy+3y^2-3x-5y-2\) において、

\(x\) , \(y\) のそれぞれの次数に注目すると、

\(x\)・・・2 次式

\(y\)・・・2 次式

次数が同じときはどちらでもよい

今回は、\(x\) に注目して、降べきの順に並べる

 

\(2x^2+5xy+3y^2-3x-5y-2\\=2x^2+(5y-3)x+(3y^2-5y-2)\)

 

それぞれで因数分解

\(2x^2+5xy+3y^2-3x-5y-2=2x^2+(5y-3)x+(3y^2-5y-2)\) において、

・\(2x^2\) 、\((5y-3)x\) はこれ以上因数分解できないためそのまま

・\(3y^2-5y-2=(y-2)(3y+1)\) より

 

\(2x^2+5xy+3y^2-3x-5y-2=2x^2+(5y-3)x+(y-2)(3y+1)\)

共通因数でくくる or 式全体でたすきがけ

\(2x^2+5xy+3y^2-3x-5y-2=2x^2+(5y-3)x+(y-2)(3y+1)\) において、

共通因数はないため、式全体でたすきがけを行う.

 

 

 

したがって、

\(2x^2+5xy+3y^2-3x-5y-2=(x+y-2)(2x+3y+1)\)

まとめ

因数分解は完全パターンです。

大きな手順としては

  • 共通因数でくくる
  • 公式の利用
  • 最低次数の文字に注目

→ 降べきの順

→ それぞれで因数分解

→ 共通因数でくくる or 式全体でたすきがけ

の流れを覚えた上で、しっかりと演習を行いましょう!

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