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【2003年東京大学・類題】円周率の大きさ[2021 信州大学・教育学部]

数学(大学入試問題)

【2021 信州大学 教育学部 第2問】

(1)解答

(1) \(\angle{AOB}=\displaystyle\frac{\pi}{12}\) より

\(\sin \angle{AOB}=\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}\)

半角の公式

\(\sin^{2}\displaystyle\frac{\theta}{2}=\displaystyle\frac{1-\cos \theta}{2} \)

 

\(\sin^{2}\displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{1-\cos \displaystyle\frac{\pi}{6}}{2}= \displaystyle\frac{2-\sqrt{3}}{4} \)

\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}>0\) より

\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)

ここで

\(\sqrt{2-\sqrt{3}}=\sqrt{\displaystyle\frac {4-2\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2}}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)

したがって、

\(\sin \displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

よって \(\triangle OAB=\displaystyle\frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\\=\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}\)

(2)解答

(2) 面積に注目すると、

扇形\(OAB>\)\(\triangle OAB\) ・・・ ①

 

扇形\(OAB=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot 1^2 \cdot \displaystyle\frac{\pi}{12}=\displaystyle\frac{\pi}{24}\)

(1)の結果と①から、

\(\displaystyle\frac{\pi}{24}>\displaystyle\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{8}\)

したがって、\(\pi>3(\sqrt{6}-\sqrt{2})\)

2003年 東京大学

2003年の東京大学の問題で、

「円周率が \(3.05\) よりも大きいことを証明せよ.」

はとても有名ですね。

何気なく使用する円周率に関する良問です。有名な問題だからこそ、解法の流れを経験し、類題に対応できるように!

【2003東京大学】円周率が3.05より大きいことを証明せよ|円周率とは?
円周率πとは円の直径に対する円周の長さの比。円に内接する正十二角形の周の長さの総和と円周の長さの大きさの大小から証明する。一行問題。有名。2003東大過去問演習。

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