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【2022京都大学・理・第2問】1からnの3枚のカードX
数学(大学入試問題)

【2022京都大学・理・第2問】

箱の中に\(1\) から \(n\) までの番号がついた \(n\) 枚の札がある.ただし、\(n≧5\) とし、同じ番号の札はないとする.この箱から \(3\) 枚の札を同時に取り出し、札の番号を小さい順に \(X\)、\(Y\)、\(Z\) とする.このとき、\(Y-X≧2\) かつ \( Z-Y≧2\) となる確率を求めよ.

実験

条件を満たす場合の数を、\(a_{n}\) 通りと表す.

・\(n=5\) のとき

※上の表は、\(( X , Y , Z )=( 1 , 3 , 5 )\) を表すことにする.

よって、\(a_{5}=1\)

 

・\(n=6\) のとき

よって、\(a_{6}=4\)

 

・\(n=7\) のとき

よって、\(a_{7}=10\)

\(n=7\) を考えた際、

\(X\not=1\) の場合(上の表の黄色の網掛け部分)は、\(a_{6}\) と同じ

つまり、\(a_{7}=a_{6}\)+( \(1~7\) の中で \(X=1\) のときの個数 ) となる.

つまり、

\(a_{n+1}=a_{n}\)+( \(1~(n+1)\) の中で \(X=1\) のときの個数 )

※ \(1~(n+1)\) の中で \(X=1\) のときの個数を考えればよい.

 

\(X=1\) のときを考える.

\(Y=3\) とすると、\(5≦Z≦n+1\) より、\((n+1)-5+1=n-3\) 個.

\(Y=4\) とすると、\(6≦Z≦n+1\) より、\((n+1)-6+1=n-4\) 個.

これを繰り返し、

\(Y=n-1\) とすると、\(Z=n+1\) より、\((n+1)-(n+1)+1=1\) 個.

よって、\((n-3)+(n-4)+\cdots+1\) を計算した個数が、\(X=1\) のときである.

( ☝ 初項が \(n-3\)、末項が \(1\)、項数 \(n-3\) の等差数列の和)

※上のように解答を作っても良いが、以下の解答では \(Y=k\) として、Σで計算して解答を作成しています.しっかりとイメージを持ったうえで解答を作りましょう!

解答

条件を満たす場合の数を、\(a_{n}\) 通りと表す.

\(1~(n+1)\) の中で \(X=1\) のとき

\(Y=k\) ( \(k= 3 , 4 , 5 , \cdots , n-1\) ) とおくと、

\(z≧k+2\) より、

\((n+1)-(k+2)+1=n-k\) 個

よって、

\(\displaystyle\sum_{k=3}^{n-1}{(n-k)}=\displaystyle\frac{1}{2}(n-3)(n-2)\) 個

したがって、

\(a_{n+1}=a_{n}+\displaystyle\frac{1}{2}(n-3)(n-2)\) ・・・① が成り立つ

 

\(a_{n}=a_{5}+\displaystyle\sum_{k=5}^{n-1}{\displaystyle\frac{1}{2}(k-3)(k-2) }\)

これを計算(※計算については下記に参考として紹介)すると

\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{6}(n-4)(n-3)(n-2)\)

 

以上より求める確率は、

\(\displaystyle\frac{a_{n}}{_{n}C_{3}}=\displaystyle\frac{(n-4)(n-3)}{n(n-1)}\)

※参考(Σの計算について)

連続する整数の積の和について

覚えておくと便利な公式

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}= \displaystyle\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\)

※連続 \(2\) 整数の積の和⇒ \(3\) 分の \(1\) で、連続する \(3\) 整数の積

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)(k+2)}= \displaystyle\frac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\)

※連続 \(3\) 整数の積の和⇒ \(4\) 分の \(1\) で、連続する \(4\) 整数の積

一般に、

『連続 \(n\) 整数の積の和⇒ \((n+1)\) 分の \(1\) で、連続する \((n+1)\) 整数の積』

の形になる.

 

(証明)※この計算過程も大切!

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}= \displaystyle\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\) について

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}\)

\(=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)\left\{(k+2)-(k-1)\right\}\times \displaystyle\frac{1}{3}}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}{\left\{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)\right\}}\)

ここで、\(f(n)=(n-1)n(n+1)\) とおくと、

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{\left\{f(n+1)-f(n)\right\}}\)

\(=\left\{f(2)-f(1)\right\}+ \left\{f(3)-f(2)\right\}+ \left\{f(4)-f(3)\right\}+\cdots+\left\{f(n+1)-f(n)\right\}\)

\(=f(n+1)-f(1)\)

\(=n(n+1)(n+2)\) であるから、

したがって、

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{k(k+1)}= \displaystyle\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)\)

 

これを利用すると、本問の

\(a_{n}=a_{5}+\displaystyle\sum_{k=5}^{n-1}{\displaystyle\frac{1}{2}(k-3)(k-2)}\) の計算については、

\(\displaystyle\sum_{k=5}^{n-1}{\displaystyle\frac{1}{2}(k-3)(k-2)}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\sum_{k=5}^{n-1}{\left\{(k-3)(k-2)(k-1)-(k-4)(k-3)(k-2)\right\}}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}\left\{(n-4)(n-3)(n-2)-1\times2\times3\right\}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(n-4)(n-3)(n-2)-1\) となるため、

\(a_{n}=a_{5}+\displaystyle\sum_{k=5}^{n-1}{\displaystyle\frac{1}{2}(k-3)(k-2)}\) は、

\(=1+\displaystyle\frac{1}{6}(n-4)(n-3)(n-2)-1\)

\(=\displaystyle\frac{1}{6}(n-4)(n-3)(n-2)\)

と計算できる.

部分分数分解と同じ要領で計算することで、煩雑なΣ計算をしなくて済む.

 

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