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2021京都大学(文系:第4問)pが素数ならばp^4+14は素数でない

数学(大学入試問題)

【問題】2021年京都大学 文系 第4問

      \(p\) が素数ならば  \(p^{4}+14\)  は素数でないことを示せ.

はじめに

数あるサイトの中からご覧いただきありがとうございます。

「マスマス学ぶ」の亮太です。

ここではただ解答を紹介するだけでなく、問題を見てからどのように考えるのか、考え方・思考の仕方をメインにお話しします。

整数問題は多くの人が解答を見れば理解できます。しかし、多くの人が解けません。

それはしっかりと系統的に考え方が整理されていないからです。

様々な良問の整数問題を通して、考え方を身につけていってください!

整数問題のPoint

まず整数問題すべてに共通して言えるPointは

  1. 積の形に変形
  2. 条件から範囲を絞る
  3. 倍数や余りに注目

整数問題の多くが、上の1から3のいずれかで処理できます。

この3つのPointは絶対に頭の中に叩き込んでください!

 

さらに上のポイントに加えて、方針が立たない時は次のポイントを考えましょう。

整数問題の極意 👉 実験する

※規則性や法則を見つける

整数問題では、実験の中から規則を見つけて方針を立てていくことが多いです。

問題文と睨めっこしてもダメ!手を動かしましょう!

2021年 京大(文系)第4問

【問題】2021年京都大学 文系 第4問

      \(p\) が素数ならば  \(p^{4}+14\)  は素数でないことを示せ.

【考え方・思考の仕方】

《Step1》

「\(p^4+14\) は素数でない」ことを示すためには、

「□の倍数」になることを示せばよい.ただし□は除く

※例えば「5の倍数の中で素数になるのは5だけ」であるから、5ではない5の倍数であることが証明できればよい。と言う形で考える.

《Step2》

方針がつかめなければとにかく手を動かす(実験)

[実験]\(p\) に2、3、5、7・・・・・と代入

・\(p=2\) のとき、\(2^4+14=30\) (3の倍数になる)

・\(p=3\) のとき、\(3^4+14=95\) (5の倍数になる)

・\(p=5\) のとき、\(5^4+14=639\) (3の倍数になる)

・\(p=7\) のとき、\(7^4+14=2415\) (3の倍数になる)

👉\(p=3\) のとき以外はすべて3の倍数?を示すことが出来ればOK!

 

3の倍数であることの証明

👉 mod 3 で考える

合同式( mod 3 )って何?と言う人は、「合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする」で合同式について理解しましょう!

さらに合同式を使う練習をしたい人は「合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習」を参考にしてください。

【解答】

(ⅰ) \(p=3\) のとき

\(p^4+14=3^4+14=95\) となり、これは素数ではない

 

(ⅱ) \(p≠3\) の素数のとき

3を法として

(ア) \(p≡1\) のとき

\(p^4+14≡1^4+14=15≡0\)

 

(イ) \(p≡2\) のとき

\(p^4+14≡2^4+14=30≡0\)

 

(ア)、(イ)より\(p≠3\) の素数のとき\(p^4+14\) は3の倍数となる.

さらに、\(p^4+14=3\) を満たす素数 \(p\) は存在しないため、\(p^4+14\)は素数ではない.

(ⅰ)、(ⅱ)から題意は示された.

 

【参考】(ⅱ)の(ア)と(イ)について

\(p≡2≡(-1)\) より(ア)と(イ)をまとめて

\(p≡±1\) として処理できると楽である.

 

【参考②】(ⅱ)の別解

\(p^4+14=(p^4-1)+15=(p-1)(p+1)(p^2+1)+15\)

\(p≠3\) の素数のとき、\(p-1\) または \(p+1\) のいずれかは3の倍数

最後に

いかがだったでしょうか?

偶然解けたでは絶対にダメ!

大学受験において、

同じ問題は出題されません。

しかし、同じ形式の問題はよく出題されます!

しっかりと考え方、思考の仕方を学び、初見の問題でも手が出るように演習をしていきましょう!

2018 京都大学(数学)整数問題も類題として良い演習問題になるかと思います。

ぜひ復習に利用してみてください。

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