【頻出！公式】aPA+bPB+cPC=0(ベクトル)の点Pの位置と三角形の面積比

考え方

① 始点をそろえる

② 線分の内分・外分点の位置ベクトル

解答

(１)

\(5\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

始点を \(A\) にそろえると

\(5\overrightarrow{AP}+4(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})+3(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}\) より

\(12\overrightarrow{AP}=4\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\)

よって \(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{4\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{12}\)

内分点の公式が使える形に式変形をする！

Pointは，\(\overrightarrow{AB}\) , \(\overrightarrow{AC}\) の係数の和と，分母の値が等しくなるようにする！

\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{7}{12}\cdot\displaystyle\frac{4\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{7}\) ・・・①

ここで，\(\overrightarrow{AQ}=\displaystyle\frac{4\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{7}\) とおく

内分点の公式から点 \(Q\) は \(BC\) を \(3 : 4\) に内分する．

①より，\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{7}{12}\overrightarrow{AQ}\) ・・・②

②より点 \(P\) は \(AQ\) を \(7 : 5\) に内分する点

したがって，

\(BC\) を \(3 : 4\) に内分する点を \(Q\) とするとき，

\(AQ\) を \(7 : 5\) に内分する点が \(P\) である．

(２)

(１) , (２)より下図のようになる．

\(\triangle ABC=S\) とおく．

\(\triangle ABQ=\displaystyle\frac{BQ}{BC}S=\displaystyle\frac{3}{7}S\)  より

\(\triangle PAB=\triangle ABQ\times \displaystyle\frac{AP}{AQ}=\displaystyle\frac{3}{7}S\times \displaystyle\frac{7}{12}=\displaystyle\frac{1}{4}S\)

同様に \(\triangle ACQ=\displaystyle\frac{QC}{BC}S=\displaystyle\frac{4}{7}S\) より

\(\triangle PCA=\displaystyle\frac{4}{7}S\times \displaystyle\frac{7}{12}=\displaystyle\frac{1}{3}S\)

また，\(\triangle PBC=S\times \displaystyle\frac{PQ}{AQ}=\displaystyle\frac{5}{12}S\)

したがって，

\(\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB=\displaystyle\frac{5}{12}S : \displaystyle\frac{1}{3}S : \displaystyle\frac{1}{4}S=5 : 4 : 3\)

頻出！覚えておくべき公式！

記述の模試・テストにおいては上記のようにしっかりと途中過程が必要ですが，共通テストや私大入試のようなマーク形式(答えのみOK)であれば，次の公式は頻出ですので結果を覚えておきましょう！

\(5\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\) より

係数に注目すると，\(\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB=5 : 4 : 3\)