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【頻出!公式】aPA+bPB+cPC=0(ベクトル)の点Pの位置と三角形の面積比

数学(大学入試問題)

【4STEP(数学B)56】

\(\triangle ABC\) と点 \(P\) に対して,等式 \(5\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\) が成り立っている.

(1) 点 \(P\) がの位置をいえ.

(2) \(\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB\) を求めよ.

考え方

① 始点をそろえる

\(\overrightarrow{XY}\) の始点を \(A\) に変換すると,

\(\overrightarrow{XY}=\overrightarrow{AY}-\overrightarrow{AX}\)

② 線分の内分・外分点の位置ベクトル

解答

(1)

\(5\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)

始点を \(A\) にそろえると

\(5\overrightarrow{AP}+4(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB})+3(\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}\) より

\(12\overrightarrow{AP}=4\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}\)

よって \(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{4\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{12}\)

内分点の公式が使える形に式変形をする!

Pointは,\(\overrightarrow{AB}\) , \(\overrightarrow{AC}\) の係数の和と,分母の値が等しくなるようにする!

\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{7}{12}\cdot\displaystyle\frac{4\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{7}\) ・・・①

ここで,\(\overrightarrow{AQ}=\displaystyle\frac{4\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AC}}{7}\) とおく

内分点の公式から点 \(Q\) は \(BC\) を \(3 : 4\) に内分する

①より,\(\overrightarrow{AP}=\displaystyle\frac{7}{12}\overrightarrow{AQ}\) ・・・②

②より点 \(P\) は \(AQ\) を \(7 : 5\) に内分する点

したがって,

\(BC\) を \(3 : 4\) に内分する点を \(Q\) とするとき,

\(AQ\) を \(7 : 5\) に内分する点が \(P\) である.

(2)

(1) , (2)より下図のようになる.

\(\triangle ABC=S\) とおく.

\(\triangle ABQ=\displaystyle\frac{BQ}{BC}S=\displaystyle\frac{3}{7}S\)  より

\(\triangle PAB=\triangle ABQ\times \displaystyle\frac{AP}{AQ}=\displaystyle\frac{3}{7}S\times \displaystyle\frac{7}{12}=\displaystyle\frac{1}{4}S\)

同様に \(\triangle ACQ=\displaystyle\frac{QC}{BC}S=\displaystyle\frac{4}{7}S\) より

\(\triangle PCA=\displaystyle\frac{4}{7}S\times \displaystyle\frac{7}{12}=\displaystyle\frac{1}{3}S\)

また,\(\triangle PBC=S\times \displaystyle\frac{PQ}{AQ}=\displaystyle\frac{5}{12}S\)

したがって,

\(\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB=\displaystyle\frac{5}{12}S : \displaystyle\frac{1}{3}S : \displaystyle\frac{1}{4}S=5 : 4 : 3\)

頻出!覚えておくべき公式!

記述の模試・テストにおいては上記のようにしっかりと途中過程が必要ですが,共通テストや私大入試のようなマーク形式(答えのみOK)であれば,次の公式は頻出ですので結果を覚えておきましょう!

\(a\overrightarrow{AP}\)\(+\)\(b\overrightarrow{BP}\)\(+\)\(c\overrightarrow{CP}\)\(=\overrightarrow{0}\) のとき

\(\triangle PBC\) : \(\triangle PCA\) : \(\triangle PAB\) =  \(a\)  :  \(b\)  :  \(c\) 

※ 係数に注目すれば良い!

\(a\) , \(b\) , \(c\) がどこの三角形に対応しているのか,しっかりと図形で覚えよう!

\(5\overrightarrow{AP}+4\overrightarrow{BP}+3\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\) より

係数に注目すると,\(\triangle PBC : \triangle PCA : \triangle PAB=5 : 4 : 3\)

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