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【2020奈良県立医科大学・医学部】連続関数f(x)において成立する関係について

式と証明

【2020奈良県立医科大学・医・第5問】

実数全体で定義された連続関数 \(f(x)\) が以下の \(2\) 条件をみたしているとする.

・条件( ⅰ ):任意の \(x\) に対して \(f(x)≧0\)

・条件( ⅱ ):任意の \(x\not=0\) と任意の \(\alpha>1\) に対して \(f(\alpha x)>\alpha f(x)\)

(1) 条件( ⅱ )を用いて,任意の \(\beta\) ( \(0<\beta<1\) ) に対して \(\beta f(1)>f(\beta)\) となることを示せ.

(2) \(f(0)\) の値を求めよ.

(3) \(x>y>0\) に対し \(f(x)>f(y)\) が成り立つことを示せ.

解答・解説

(1) \(\beta f(1)>f(\beta)\) となることの証明

\(\beta\) を \(0<\beta<1\) をみたす任意の実数とする.

このとき \(\alpha=\displaystyle\frac{1}{\beta}\) とすると \(\alpha>1\)

\(x\not=0\) のとき条件( ⅱ )より

\(f\left(\displaystyle\frac{x}{\beta}\right)>\displaystyle\frac{1}{\beta}f(x)\)

さらに,\(\beta\not=0\) より \(x=\beta\) とすると

\(f\left(\displaystyle\frac{\beta}{\beta}\right)>\displaystyle\frac{1}{\beta}f(\beta)\)

\(\iff\) \(\beta f(1)>f(\beta)\) ( ∵ \(\beta>0\) )

よって題意は示された.

(2) \(f(0)\) の値

\(f(x)\) は実数全体で定義された連続関数であるから,

\(f(0)=\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}f(\beta)\) となる.

(1)の結果と条件( ⅰ )より

\(0≦f(\beta)<\beta f(1)\)

よって,

\(0≦\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}f(\beta)<\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}\beta f(1)=0\)

はさみうちの原理から

\(f(0)=\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}f(\beta)=0\)

したがって,\(f(0)=0\)

(3) \(f(x)>f(y)\) となる証明

\(x>y>0\) より

\(\displaystyle\frac{x}{y}>1\) かつ \(y\not=0\)

よって条件( ⅱ )より

\(f(x)=f\left(\displaystyle\frac{x}{y}\cdot y\right)>\displaystyle\frac{x}{y}f(y)>f(y)\)

したがって,\(f(x)>f(y)\) が成り立つ.

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