スポンサーリンク

【漸化式11】階比数列型|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

11.\(a_{1}=1\),\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)

漸化式は完全暗記もの!

数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

特にパターン5以降は,初めの1手を知っているかどうか,その1手さえ突破できれば,あとは基本のパターン1〜4に帰着します。

パターン11.階比数列型 [ \(a_{n+1}=f(n)a_{n}\) ]

考え方

\(a_{n+1}=f(n)a_{n}\)

👉 \(n≧2\) のとき,\(a_{n}=f(n-1)f(n-2)\cdots f(1)a_{1}\)

\(a_{n+1}=f(n)a_{n}\) のとき

\(n\) に \(n-1\) を代入して , \(a_{n}=f(n-1)a_{n-1}\) ・・・①

\(n\) に \(n-1\) を代入して , \(a_{n-1}=f(n-2)a_{n-2}\) ・・・②

②を①に代入すると,\(a_{n}=f(n-1)f(n-2)a_{n-2}\)

このように同様の作業を繰り返し続けていくと最後は

\(n\) に \(1\) を代入して,\(a_{2}=f(1)a_{1}\) を代入して

\(f(n)=f(n-1)f(n-2)\cdots f(1)a_{1}\) が導ける.

※  この考え方では,\(n\) ⇒ \(n-1\) ⇒ \(n-2\) ⇒ ・・・ ⇒ \(2\) ⇒ \(1\) と \(n\)の値を小さくしていった.

しかし , \(n=1\) のときはこれ以上小さくしていくことができないため, \(n≧2\) のときとなる.

解答・解説

11.\(a_{1}=1\),\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)

\(a_{n+1}=\displaystyle\frac{n+1}{n}a_{n}\) より

\(n≧2\) のとき \(\left(f(n)=\displaystyle\frac{n+1}{n}\text{として考える}\right)\)

\(a_{n}=\displaystyle\frac{n}{n-1}\cdot\displaystyle\frac{n-1}{n-2}\cdot\displaystyle\frac{n-2}{n-3}\cdots\cdot\displaystyle\frac{3}{2}\cdot\displaystyle\frac{2}{1}\cdot a_{1}\)

よって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{n}{1}a_{1}=n\)

これは \(n=1\) のときも成立

したがって,\(a_{n}=n\)

参考:別解

11.\(a_{1}=1\),\(na_{n+1}=(n+1)a_{n}\)

両辺を \(n(n+1)\) で割ると,\(\displaystyle\frac{a_{n+1}}{n+1}=\displaystyle\frac{a_{n}}{n}\)

よって,\(\displaystyle\frac{a_{n}}{n}=\displaystyle\frac{a_{n-1}}{n-1}=\cdots=\displaystyle\frac{a_{1}}{1}\)

したがって,\(\displaystyle\frac{a_{n}}{n}=\displaystyle\frac{a_{1}}{1}=1\) \(\iff\) \(a_{n}=n\)

【漸化式10】和と一般項(Snとan)型|解法パターン|数学B数列
漸化式の解き方・解法まとめ。和と一般項が与式にある場合の一般項の求め方。頻a1=S1,a(n+1)=S(n+1)-Snの利用。定期考査、大学入試共通テスト、2次試験対策。
【漸化式12】連立型の漸化式|解法パターン|数学B数列
漸化式の解き方・解法まとめ。連立型の一般項の求め方。一方を実数倍して加え、等比数列として考える解法①。1文字消去を行い、隣接三項間特性方程式に帰着させる解法②。の2通りの解法を紹介。差がつく頻出・重要問題。定期考査、大学入試共通テスト、2次試験対策。

コメント

タイトルとURLをコピーしました