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【漸化式12】連立型の漸化式|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ.

12.\(a_{1}=0 , b_{1}=1\)

\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)

漸化式は完全暗記もの!

数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

特にパターン5以降は,初めの1手を知っているかどうか,その1手さえ突破できれば,あとは基本のパターン1〜4に帰着します。

パターン12.連立型

\(a_{n}\) , \(a_{n+1}\) , \(b_{n}\) , \(b_{n+1}\) の連立

👉解法2通り

解法① 一方を実数倍し加え,等比数列(パターン2)の形へ

解法② 1文字消去⇒隣接三項間特性方程式(パターン8,9)へ

解法①

12.\(a_{1}=0 , b_{1}=1\)

\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)

\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}・・・①\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}・・・②\end{cases}\)

【考え方】

① + ② \(\times k\) より

\(a_{n+1}+kb_{n+1}=(4+k)a_{n}+(8+6k)a_{n}\) ・・・③

☆ ③を,( \(n+1\) の式 ) \(=\)  \(r\) ( \(n\) の式 ) の形 ( 等比数列 ) にしたい!

👉 ③の係数の比に注目して,\(1 : k = (4+k) : (8+6k)\) 

が成立するときである.このとき

\(4k+k^2=8+6k\) \(\iff\) \(k^2-2k-8=0\)

よって \((k+2)(k-4)=0\) であるから, \(k=-2,4\)

【解答】

① + ② \(\times (-2)\) より

\(a_{n+1}-2b_{n+1}=2a_{n}-4b_{n}=2(a_{m}-2b_{n})\) であるから,

数列 \(\left\{ a_{n}-2b_{n} \right\}\) は,初項が \(a_{1}-2b_{n}=-2\) , 公比が \(2\) の等比数列より

\(a_{n}-2b_{n}=-2\cdot 2^{n-1}\) ・・・④

 

① + ② \(\times 4\) より

\(a_{n+1}+4b_{n+1}=8a_{n}+32b_{n}=4(a_{m}+4b_{n})\) であるから,

数列 \(\left\{ a_{n}+4b_{n} \right\}\) は,初項が \(a_{1}+4b_{n}=4\) , 公比が \(8\) の等比数列より

\(a_{n}+4b_{n}=4\cdot 8^{n-1}\) ・・・⑤

 

④ \(\times 2 + \) ⑤ より

\(3a_{n}=-4\cdot 2^{n-1}+4\cdot 8^{n-1}\)

したがって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{4\cdot 8^{n-1}-2^{n+1}}{3}=\displaystyle\frac{2^{3n-1}-2^{n+1}}{3}\)

また,⑤ ー ④ より

\(6b_{n}=4\cdot 8^{n-1}+2\cdot 2^{n-1}\)

よって,\(b_{n}=\displaystyle\frac{2\cdot 8^{n-1}+2^{n-1}}{3}=\displaystyle\frac{2^{3n-2}+2^{n-1}}{3}\)

参考

教科書や問題集に例題として記載されている問題の多くは, \(k=\pm 1\) であることが多い.

つまり,①,②式をそれぞれ足したり,引いたりすることで等比数列の形に導ける.

最初に頭の中で足したり引いてみて,それでうまくいかなかった場合は,上のような一般的な手法を取りましょう!

解法②

12.\(a_{1}=0 , b_{1}=1\)

\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)

\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}・・・①\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}・・・②\end{cases}\)

①より,\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+1}-4a_{n})\) ・・・③

③より,\(b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+2}-4a_{n+1})\) ・・・④

④に②,③を代入すると

\(\displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+2}-4a_{n+1})=a_{n}+6\cdot \displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+1}-4a_{n})\)

式を整理すると

\(a_{n+2}-10a_{n+1}+16a_{n}=0\) であり,

\(a_{1}=0 , b_{1}=1\) , ①より \(a_{2}=4a_{1}+8b_{1}=8\) となる.

パターン8・9:隣接三項間特性方程式型に帰着した!

この後の解法手順が不安な方は「【漸化式8,9】隣接三項間特性方程式(2実解,重解型)|解法パターン|数学B数列」を確認しよう!

特性方程式 \(x^2-10x+16=0\) を解くと

\((x-2)(x-8)=0\) \(\iff\) \(x = 2 , 8\)

与式は,

\(a_{n+2}-2a_{n+1}=8(a_{n+1}-2a_{n})\) ・・・⑤

\(a_{n+2}-8a_{n+1}=2(a_{n+1}-8a_{n})\) ・・・⑥ と式変形できる.

⑤より数列 \(\left\{a_{n+1}-2a_{n}\right\}\) は初項:\(a_{2}-2a_{1}=8\) , 公比:\(8\) の等比数列であるから,

\(a_{n+1}-2a_{n}=8\cdot 8^{n-1}\) ・・・⑤ ’

⑥より数列 \(\left\{a_{n+1}-8a_{n}\right\}\) は初項:\(a_{2}-8a_{1}=8\) , 公比:\(2\) の等比数列であるから,

\(a_{n+1}-8a_{n}=8\cdot 2^{n-1}\) ・・・⑥ ’

⑤ ‘ – ⑥ ‘ より

\(6a_{n}=8\cdot 8^{n-1}-8\cdot 2^{n-1}\)

したがって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{4\cdot 8^{n-1}-2^{n+1}}{3}=\displaystyle\frac{2^{3n-1}-2^{n+1}}{3}\)

これを③に代入することで \(b_{n}\) は求められる.

計算量を考えると,解法①の方が楽である.
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