【例題】次の条件によって定められる数列の一般項を求めよ．
12．\(a_{1}=0 , b_{1}=1\)
\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。
パターン12．連立型
\(a_{n}\) , \(a_{n+1}\) , \(b_{n}\) , \(b_{n+1}\) の連立
👉解法２通り
解法① 一方を実数倍し加え，等比数列(パターン2)の形へ
解法② １文字消去⇒隣接三項間特性方程式(パターン8,9)へ
解法①
12．\(a_{1}=0 , b_{1}=1\)
\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)
\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}・・・①\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}・・・②\end{cases}\)
【考え方】
【解答】
① ＋ ② \(\times (-2)\) より
\(a_{n+1}-2b_{n+1}=2a_{n}-4b_{n}=2(a_{m}-2b_{n})\) であるから，
数列 \(\left\{ a_{n}-2b_{n} \right\}\) は，初項が \(a_{1}-2b_{n}=-2\) , 公比が \(2\) の等比数列より
\(a_{n}-2b_{n}=-2\cdot 2^{n-1}\) ・・・④
① ＋ ② \(\times 4\) より
\(a_{n+1}+4b_{n+1}=8a_{n}+32b_{n}=4(a_{m}+4b_{n})\) であるから，
数列 \(\left\{ a_{n}+4b_{n} \right\}\) は，初項が \(a_{1}+4b_{n}=4\) , 公比が \(8\) の等比数列より
\(a_{n}+4b_{n}=4\cdot 8^{n-1}\) ・・・⑤
④ \(\times 2 + \) ⑤ より
\(3a_{n}=-4\cdot 2^{n-1}+4\cdot 8^{n-1}\)
したがって，\(a_{n}=\displaystyle\frac{4\cdot 8^{n-1}-2^{n+1}}{3}=\displaystyle\frac{2^{3n-1}-2^{n+1}}{3}\)
また，⑤ ー ④ より
\(6b_{n}=4\cdot 8^{n-1}+2\cdot 2^{n-1}\)
よって，\(b_{n}=\displaystyle\frac{2\cdot 8^{n-1}+2^{n-1}}{3}=\displaystyle\frac{2^{3n-2}+2^{n-1}}{3}\)
参考
解法②
12．\(a_{1}=0 , b_{1}=1\)
\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}\end{cases}\)
\(\begin{cases}a_{n+1}=4a_{n}+8b_{n}・・・①\\b_{n+1}=a_{n}+6b_{n}・・・②\end{cases}\)
①より，\(b_{n}=\displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+1}-4a_{n})\) ・・・③
③より，\(b_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+2}-4a_{n+1})\) ・・・④
④に②，③を代入すると
\(\displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+2}-4a_{n+1})=a_{n}+6\cdot \displaystyle\frac{1}{8}(a_{n+1}-4a_{n})\)
式を整理すると
\(a_{n+2}-10a_{n+1}+16a_{n}=0\) であり，
\(a_{1}=0 , b_{1}=1\) , ①より \(a_{2}=4a_{1}+8b_{1}=8\) となる．
パターン8・9：隣接三項間特性方程式型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「【漸化式8,9】隣接三項間特性方程式(2実解，重解型)｜解法パターン｜数学B数列」を確認しよう！
与式は，
\(a_{n+2}-2a_{n+1}=8(a_{n+1}-2a_{n})\) ・・・⑤
\(a_{n+2}-8a_{n+1}=2(a_{n+1}-8a_{n})\) ・・・⑥ と式変形できる．
⑤より数列 \(\left\{a_{n+1}-2a_{n}\right\}\) は初項：\(a_{2}-2a_{1}=8\) , 公比：\(8\) の等比数列であるから，
\(a_{n+1}-2a_{n}=8\cdot 8^{n-1}\) ・・・⑤ ’
⑥より数列 \(\left\{a_{n+1}-8a_{n}\right\}\) は初項：\(a_{2}-8a_{1}=8\) , 公比：\(2\) の等比数列であるから，
\(a_{n+1}-8a_{n}=8\cdot 2^{n-1}\) ・・・⑥ ’
⑤ ‘ – ⑥ ‘ より
\(6a_{n}=8\cdot 8^{n-1}-8\cdot 2^{n-1}\)
したがって，\(a_{n}=\displaystyle\frac{4\cdot 8^{n-1}-2^{n+1}}{3}=\displaystyle\frac{2^{3n-1}-2^{n+1}}{3}\)
これを③に代入することで \(b_{n}\) は求められる．
コメント