【2023京都大学・文系・第４問】
数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) は次の条件を満たしている．
\(a_{1}=3\)，\(a_{n}=\displaystyle\frac{S_{n}}{n}+(n-1)\cdot 2^n\) ( \(n=2,3,4,\cdots\) )
ただし，\(S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\) である．このとき，数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ．
解答・解説
\(S_{n}\) の式から一般項 \(a_{n}\) を求める漸化式パターン問題ですね！
( ⅰ ) \(a_{1}=S_{1}\)
( ⅱ ) \(a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}\)
から考えました。漸化式のパターン解法に不安がある場合は「【漸化式】有名・頻出13パターン解法まとめ｜数学B数列」を参考に！
\(a_{n}=\displaystyle\frac{S_{n}}{n}+(n-1)\cdot 2^n\) より
\(n=2,3,4,\cdots\) のとき
\(na_{n}=S_{n}+n(n-1)\cdot 2^n\) ・・・①
\(n=2\) とすると
\(2a_{2}=(a_{1}+a_{2})+2\times 1\times 2^2\) \(\iff\) \(a_{2}=11\)
また，
\(n=1,2,3,\cdots\) のとき
\((n+1)a_{n+1}=S_{n+1}+(n+1)n\cdot 2^{n+1}\) ・・・②
\(n≧2\) のとき，④ー③より
\((n+1)a_{n+1}-na_{n}=S_{n+1}-S_{n}+(n+1)n\cdot 2^{n+1}-n(n-1)\cdot 2^n\)
\(S_{n+1}-S_{n}=a_{n+1}\) より
\(na_{n+1}-na_{n}=n(n+3)\cdot 2^n\)
\(n\not=0\) より
\(a_{n+1}-a_{n}=(n+3)\cdot 2^n\)
\(a_{1}=3\)，\(a_{2}=11\) より
\(n=1\) のときも成立する．
\(a_{n+1}-a_{n}=(n+3)\cdot 2^n\) の形になったので，
階差数列型の漸化式になりましたね！
よって，\(n≧2\) のとき
\(a_{n}=a_{1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(k+3)\cdot 2^k}\)
ここで，\(T_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}{(k+3)\cdot 2^k}\) とおく．
等差数列×等比数列の和の典型的な問題の形に！
公比をかけて差をとる問題ですね！！
\(T_{n}=4\cdot 2^1+5\cdot 2^2+6\cdot 2^3+\cdots+(n+2)\cdot 2^{n-1}\)
\(2T_{n}=4\cdot 2^2+5\cdot 2^3+6\cdot 2^4+\cdots+(n+1)\cdot 2^{n-1}+(n+2)\cdot 2^{n}\)
この \(2\) 式の差をとると
\(T_{n}=8+2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}-(n+2)\cdot 2^{n}\)
\(=8+\displaystyle\frac{4(2^{n-2}-1)}{2-1}-(n+2)\cdot 2^{n}\)
\(=4-(n+1)\cdot 2^{n}\)
よって \(T_{n}=(n+1)\cdot 2^{n}-4\) であるから
\(a_{n}=3+T_{n}=(n+1)\cdot 2^{n}-1\)
\(n=1\) のときもこの式は成立．
したがって，\(a_{n}=(n+1)\cdot 2^{n}-1\)
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