【例題】次の条件によって定められる数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ．
10．\(S_{n}=-7+2n-a_{n}\)
漸化式は完全暗記もの！
数学が得意不得意に関わらず，ただただパターンを覚えてなければできるようになりません！
特にパターン５以降は，初めの１手を知っているかどうか，その１手さえ突破できれば，あとは基本のパターン１〜４に帰着します。
パターン10：\(S_{n}\) と \(a_{n}\) 型
与式に \(S_{n}\) と \(a_{n}\)
👉 ( ⅰ ) \(a_{1}=S_{1}\)
( ⅱ ) \(a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}\)
\(n=1\) のとき \(a_{1}=S_{1}\) より
\(S_{1}=a_{1}=-7+2-a_{1}\) \(\iff\) \(a_{1}=-\displaystyle\frac{5}{2}\)
次に，\(a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}\) より
\(a_{n+1}=\left\{-7+2(n+1)-a_{n+1}\right\}-(-7+2n-a_{n})\)
\(\iff\) \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}a_{n}+1\)
パターン４：隣接二項間特性方程式型に帰着した！
この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう！
\(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha+1\) \(\iff\) \(\alpha=2\)
与式は，\(a_{n+1}-2=\displaystyle\frac{1}{2}(a_{n}-2)\)
数列 \(\left\{a_{n}-2\right\}\) は初項：\(a_{1}-2=-\displaystyle\frac{9}{2}\) , 公比：\(\displaystyle\frac{1}{2}\) の等比数列なので，
\(a_{n}-2=-\displaystyle\frac{9}{2}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
したがって，\(a_{n}=-9\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n+2\)
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