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【漸化式10】和と一般項(Snとan)型|解法パターン|数学B数列

数学(大学入試問題)

【例題】次の条件によって定められる数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項を求めよ.

10.\(S_{n}=-7+2n-a_{n}\)

漸化式は完全暗記もの!

数学が得意不得意に関わらず,ただただパターンを覚えてなければできるようになりません!

特にパターン5以降は,初めの1手を知っているかどうか,その1手さえ突破できれば,あとは基本のパターン1〜4に帰着します。

パターン10:\(S_{n}\) と \(a_{n}\) 型

与式に \(S_{n}\) と \(a_{n}\)

👉 ( ⅰ ) \(a_{1}=S_{1}\) 

( ⅱ ) \(a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}\)

10.\(S_{n}=-7+2n-a_{n}\)

\(n=1\) のとき \(a_{1}=S_{1}\) より

\(S_{1}=a_{1}=-7+2-a_{1}\) \(\iff\) \(a_{1}=-\displaystyle\frac{5}{2}\)

次に,\(a_{n+1}=S_{n+1}-S_{n}\) より

\(a_{n+1}=\left\{-7+2(n+1)-a_{n+1}\right\}-(-7+2n-a_{n})\)

\(\iff\) \(a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2}a_{n}+1\)

パターン4:隣接二項間特性方程式型に帰着した!

この後の解法手順が不安な方は「こちら」を確認しよう!

\(\alpha=\displaystyle\frac{1}{2}\alpha+1\) \(\iff\) \(\alpha=2\)

与式は,\(a_{n+1}-2=\displaystyle\frac{1}{2}(a_{n}-2)\)

数列 \(\left\{a_{n}-2\right\}\) は初項:\(a_{1}-2=-\displaystyle\frac{9}{2}\) , 公比:\(\displaystyle\frac{1}{2}\) の等比数列なので,

\(a_{n}-2=-\displaystyle\frac{9}{2}\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

したがって,\(a_{n}=-9\cdot\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n+2\)

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