【東京大学・理類】
関数 \(f(x)\) を \(f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x\left\{1+e^{-2(x-1)}\right\}\) とする．
ただし，\(e\) は自然数対数の底である．
(１) \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) ならば \(0≦f^{\prime}(x)<\displaystyle\frac{1}{2}\) であることを示せ．
(２) \(x_{0}\) を正の数とするとき，数列 \(\left\{x_{n}\right\}\) ( \(n=0,1,\cdots\) ) を，\(x_{n+1}=f(x_{n})\) によって定める．
\(x_{0}>\displaystyle\frac{1}{2}\) であれば，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=1 \)
であることを示せ．
漸化式で定められた数列の極限の求め方
漸化式の一般項が求められなくても，極限値を求めることができる問題は頻出タイプです！
解法の手順を確認しておきましょう！
数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) が漸化式
\(a_{1}=a\) , \(a_{n+1}=f(a_{n})\) ・・・①
を満たし，\(\left\{a_{n}\right\}\) は \(\alpha\) に収束するとする．
( ⅰ ) ①の両辺で \(n\) \(\rightarrow\) \(\infty\) とすると \(\alpha=f(\alpha)\) となる．
よって，極限値 \(\alpha\) は，\(x=f(x)\) の解
( ⅱ ) 不等式 \(|a_{n+1}-\alpha|≦r|a_{n}-\alpha|\) ( \(r\) は \(0<r<1\) を満たす定数 ) ・・・②
を導く．
( ⅲ ) ②を繰り返し用いて，
\(0≦|a_{n+1}-\alpha|≦r^{n-1}|a_{1}-\alpha|\)
\(0<r<1\) より，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}r^{n-1}|a_{1}-\alpha|=0 \) であるから，
はさみうちの原理より，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}|a_{n}-\alpha|=0\)
つまり，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha\)
解答・解説
(１)
\(f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}x\left\{1+e^{-2(x-1)}\right\}\) より
\(f^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{1+e^{-2(x-1)}-2xe^{-2(x-1)}\right\}\)
\(f^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{-2e^{-2(x-1)}-2e^{-2(x-1)}+4xe^{-2(x-1)}\right\}\)
\(=2e^{-2(x-1)}(x-1)\)
| \(x\) | \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) | ・・・ | \(1\) | ・・・ |
| \(f^{\prime\prime}(x)\) | ー | \(0\) | ＋ | |
| \(f^{\prime}(x)\) | \(\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\) | ↘️ | \(0\) | ↗️ |
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f^{\prime}(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{1}{2}\left\{1+\displaystyle\frac{1}{e^{2(x-1)}}+\displaystyle\frac{2x}{e^{2(x-1)}}\right\}=\displaystyle\frac{1}{2}\)
よって \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) ならば \(0≦f^{\prime}(x)<\displaystyle\frac{1}{2}\)
(２)
まず初めに，\(x_{n}>\displaystyle\frac{1}{2}\) ( \(n=0,1,2,\cdots\) ) ・・・①
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す．
( ⅰ ) \(n=0\) のとき
\(x_{0}>\displaystyle\frac{1}{2}\) より成立する．
( ⅱ ) \(n=k\) のとき，\(x_{k}>\displaystyle\frac{1}{2}\) と仮定する
(１)より，\(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき
\(0≦f^{\prime}(x)<\displaystyle\frac{1}{2}\) であるから，
\(f(x)\) は \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) において単調増加である．
よって，\(f(x)>f\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)
\(f(x)>\displaystyle\frac{1}{4}(1+e)>\displaystyle\frac{1}{4}(1+1)=\displaystyle\frac{1}{2}\)
よって，\(x_{n+1}=f(x_{n})>\displaystyle\frac{1}{2}\)
となり \(n=k+1\) のときも成り立つ．
( ⅰ )，( ⅱ )より，①は常に成り立つ．
次に \(a\) , \(b\) を \(x>\displaystyle\frac{1}{2}\) を満たす数とする．
\(a\not=b\) のとき平均値の定理より
\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)\) ・・・②
をみたす \(c\) が \(a\) と \(b\) の間に存在する．
\(c>\displaystyle\frac{1}{2}\) であるから，(１)より \(0≦f^{\prime}(c)<\displaystyle\frac{1}{2}\) なので②より
\(|f(b)-f(a)|=|f^{\prime}(c)||b-a|≦\displaystyle\frac{1}{2}|b-a|\) ・・・③
また，\(a=b\) のときも③は成り立つ．
③において，\(a=1\) , \(b=x_{n}\) とすると
\(|f(x_{n})-f(1)|≦\displaystyle\frac{1}{2}|x_{n}-1|\)
\(|f(x_{n})-1|≦\displaystyle\frac{1}{2}|x_{n}-1|\) ・・・④
④を繰り返し用いると
\(0≦|x_{n}-1|<\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n|x_{0}-1|\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)^n|x_{0}-1|=0 \)
であるから，はさみうちの原理より
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} |x_{n}-1|=0\)
したがって，\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=1 \)
コメント