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【2022慶應義塾大学】4次関数と二重接線(複接線)で囲まれた図形の面積

数学(大学入試問題)

【2022慶應義塾大学】

\(xy\) 平面上の曲線 \(C\) を \(y=x^2(x-1)(x+2)\) とする.

(1) \(C\) に \(2\) 点で下から接する直線 \(L\) の方程式を求めよ.

(2) \(C\) と \(L\) が囲む図の斜線部分の面積を求めよ.

(1) 考え方・解答

求める接線 \(L\) を \(y=ax+b\) とおく.

\(x^2(x-1)(x+2)=ax+b\)

\(x^4+x^3-2x^2-ax-b=0\) ・・・①

ここで,①の解が \(C\) と \(L\) の接点の \(x\) 座標を表すので,接点の \(x\) 座標を \(\alpha\),\(\beta\) ( \(\alpha<\beta\) ) とおくと

\(x^4+x^3-2x^2-ax-b=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2\) ・・・②

\((x-\alpha)^2(x-\beta)^2=x^4-2(\alpha+\beta)x^3+(\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2)x^2-2(\alpha\beta^2+\alpha^2\beta)x+\alpha^2\beta^2\)

であるから②より係数を比較して

\(1=-2(\alpha+\beta)\) ・・・①

\(-2=\alpha^2+4\alpha\beta+\beta^2\) ・・・②

\(-a=-2(\alpha\beta^2+\alpha^2\beta)\) ・・・③

\(-b=\alpha^2\beta^2\) ・・・④

 

①より,\(\alpha+\beta=-\displaystyle\frac{1}{2}\) ・・・⑤

②より,\((\alpha+\beta)^2+2\alpha\beta=-2\)

⑤を代入すると,\(\alpha\beta=-\displaystyle\frac{9}{8}\) ・・・⑥

⑤,⑥より \(\alpha\),\(\beta\) は

\(t^2+\displaystyle\frac{1}{2}t-\displaystyle\frac{9}{8}=0\)

つまり,\(8t^2+4t-9=0\) の \(2\) 解を表すので,

\(t=\displaystyle\frac{-1\pm\sqrt{19}}{4}\)

よって,\(\alpha=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{19}}{4}\),\(\beta=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{19}}{4}\)

また③より

\(a=2\alpha\beta(\alpha+\beta)=\displaystyle\frac{9}{8}\)

④より

\(b=-\left(-\displaystyle\frac{9}{8}\right)^2=-\displaystyle\frac{81}{64}\)

したがって求める直線 \(L\) は,\(y=\displaystyle\frac{9}{8}x-\displaystyle\frac{81}{64}\)

(2) 考え方・解答

\(\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)^2(x-\beta)^2dx=\displaystyle\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5\)

4次関数と二重接線で囲まれた図形の面積公式です!

有名な公式ですので,結論は覚えておきましょう!

その上で,下記に示す記述の解答の流れも作れるように!

求める面積 \(S\) は

\(S=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\left\{x^2(x-1)(x+2)-(ax+b)\right\}dx\)

\(=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)^2(x-\beta)^2dx\)

\(=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)^2\left\{(x-\alpha)-(\beta-\alpha)\right\}^2dx\)

\(=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}(x-\alpha)^2\left\{(x-\alpha)^2-2(\beta-\alpha)(x-\alpha)+(\beta-\alpha)^2\right\}dx\)

\(=\displaystyle\int^{\beta}_{\alpha}\left\{(x-\alpha)^4-2(\beta-\alpha)(x-\alpha)^3+(\beta-\alpha)^2(x-\alpha)^2\right\}dx\)

\(=\Bigl[\displaystyle\frac{1}{5}(x-\alpha)^5-\displaystyle\frac{1}{2}(\beta-\alpha)(x-\alpha)^4+\displaystyle\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^2(x-\alpha)^3\Bigr]^{\beta}_{\alpha}\)

\(=\displaystyle\frac{1}{5}(\beta-\alpha)^5-\displaystyle\frac{1}{2}(\beta-\alpha)^5+\displaystyle\frac{1}{3}(\beta-\alpha)^5\)

\(=\displaystyle\frac{1}{30}(\beta-\alpha)^5\)

(1)の結果から \(\alpha=\displaystyle\frac{-1-\sqrt{19}}{4}\),\(\beta=\displaystyle\frac{-1+\sqrt{19}}{4}\) より

\(\beta-\alpha=\displaystyle\frac{\sqrt{19}}{2}\) より

\(S=\displaystyle\frac{1}{30}\left(\displaystyle\frac{\sqrt{19}}{2}\right)^5=\displaystyle\frac{361\sqrt{19}}{960}\)

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