【2023京都大学・文系・第５問】
整式 \(f(x)\) が恒等式
\(f(x)+\displaystyle\int^{1}_{-1}(x-y)^2f(y) dy=2x^2+x+\displaystyle\frac{5}{3}\)
を満たすとき，\(f(x)\) を求めよ．
定積分を含む関数について
１．積分区間が定数のとき
２．積分区間の上端に \(x\) を含むとき
\(\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt\) の形を見たら
① \(x\) で微分する：\(\displaystyle\frac{d}{dx}\displaystyle\int^{x}_{a}f(t) \enspace dt=f(x)\)
② \(x=a\) ( \(x\) に下端を ) 代入：\(\displaystyle\int^{a}_{a}f(t) \enspace dt=0\)
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}(x-y)^2f(y) dy\\=x^2\displaystyle\int^{1}_{-1}f(y) dy-2x\displaystyle\int^{1}_{-1}yf(y) dy+\displaystyle\int^{1}_{-1}y^2f(y) dy\) より
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}f(y) dy\)，\(\displaystyle\int^{1}_{-1}yf(y) dy\)，\(\displaystyle\int^{1}_{-1}y^2f(y) dy\) はそれぞれ
定数となるため，\(a\) , \(b\) , \(c\) とおいて典型問題の流れに！
解答・解説
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}(x-y)^2f(y) dy=x^2\displaystyle\int^{1}_{-1}f(y) dy-2x\displaystyle\int^{1}_{-1}yf(y) dy+\displaystyle\int^{1}_{-1}y^2f(y) dy\)
より，
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}f(y) dy\)，\(\displaystyle\int^{1}_{-1}yf(y) dy\)，\(\displaystyle\int^{1}_{-1}y^2f(y) dy\) はそれぞれ
定数となるため
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}f(y) dy=a\) ・・・①
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}yf(y) dy=b\) ・・・②
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}y^2f(y) dy=c\) ・・・③ とおける．
よって与式は
\(f(x)+ax^2-2bx+c=2x^2+x+\displaystyle\frac{5}{3}\)
\(f(x)=(2-a)x^2+(2b+1)x+\displaystyle\frac{5}{3}-c\) ・・・④
①，④より
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}\left\{(2-a)y^2+(2b+1)y+\displaystyle\frac{5}{3}-c\right\}dy=a\)
積分区間が異符号の値ですので，偶関数・奇関数の性質を利用して計算しましょう！
\(2\displaystyle\int^{1}_{0}\left\{(2-a)y^2+\displaystyle\frac{5}{3}-c\right\}dy=a\)
\(2\Bigl[\displaystyle\frac{2-a}{3}y^3+\left(\displaystyle\frac{5}{3}-c\right)y\Bigr]^{1}_{0}=a\)
\(2\left\{\displaystyle\frac{2-a}{3}+\left(\displaystyle\frac{5}{3}-c\right)\right\}=a\)
\(5a+6c=14\)
②，④より
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}\left\{(2-a)y^3+(2b+1)y^2+\left(\displaystyle\frac{5}{3}-c\right)y\right\}dy=b\)
\(2\displaystyle\int^{1}_{0}(2b+1)y^2dy=b\)
\(2\Bigl[\displaystyle\frac{2b+1}{3}y^3\Bigr]^{1}_{0}=b\)
\(2\cdot\displaystyle\frac{2b+1}{3}=b\)
\(b=-2\)
③，④より
\(\displaystyle\int^{1}_{-1}\left\{(2-a)y^4+(2b+1)y^3+\left(\displaystyle\frac{5}{3}-c\right)y^2\right\}dy=c\)
\(2\displaystyle\int^{1}_{0}\left\{(2-a)y^4+\left(\displaystyle\frac{5}{3}-c\right)y^2\right\}dy=c\)
\(2\Bigl[\displaystyle\frac{2-a}{5}y^5+\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{5}{3}-c\right)y^3\Bigr]^{1}_{0}=c\)
\(2\left\{\displaystyle\frac{2-a}{5}+\displaystyle\frac{1}{3}\left(\displaystyle\frac{5}{3}-c\right)\right\}=c\)
\(18a+75c=86\)
\(a=2\)，\(b=-2\)，\(c=\displaystyle\frac{2}{3}\)
したがって，④より \(f(x)=-3x+1\)
コメント