【2022奈良県立医科大学・医学部】等差数列の決定、等比数列の和と極限

解答・解説

(１)　\(a_{1}\) ，\(a_{2}\)

\(\left\{a_{n}\right\}\) は等差数列より，公差を \(d\) とすると

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)

\(a_{1}a_{2}=3\) より

\(a_{1}(a_{1}+d)=3\) ・・・①

\(\displaystyle\frac{a_{3}}{a_{4}}=2\) より

\(\displaystyle\frac{a_{1}+2d}{a_{1}+3d}=2\) ・・・②

②より \(a_{1}+2d=2a_{1}+6d\)

よって，\(a_{1}=-4d\) ・・・③

③を①に代入すると

\(-4d\times (-3d)=3\)

\(d^2=\displaystyle\frac{1}{4}\)

\(d=\pm\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(a_{1}>0\) ，③より \(d<0\) なので

③より \(a_{1}=2\)

\(a_{2}=a_{1}+d=2-\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{3}{2}\)

(２)　\(b_{n}=3^{a_{n}}\) のとき，\(b_{5}\)

(１)より

\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d=2+(n-1)\cdot\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)\)

よって \(a_{n}=\displaystyle\frac{-n+5}{2}\)

ここで \(b_{n}=3^{a_{n}}=3^0=1\)

(３)　\(S_{n}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{b_{k}}\) の極限 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} S_{n}\)

\(\left\{b_{n}\right\}\) は初項が \(3^2\) ，公比が \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\) の等比数列より

\(S_{n}=\displaystyle\frac{3^2\left\{1-\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n\right\}}{1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}}=\displaystyle\frac{9\sqrt{3}\left\{1-\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n\right\}}{\sqrt{3}-1}\)

\(n\rightarrow\infty\) のとき \(\left(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^n\rightarrow 0\) より

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} S_{n}=\displaystyle\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\displaystyle\frac{9(3+\sqrt{3})}{2}\)