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【2024共通テスト(第1日程)】数学ⅠA:第2問[1](2次関数)|点の移動,三角形の面積の最大・最小 

2024年入試問題

(1)開始時刻から1秒後の \(\triangle PBQ\) の面積

台形 \(OABC\) の面積は,\(\displaystyle\frac{1}{2}\times(4+6)\times 6=30\)

開始時刻から1秒後は,\(OP=1\),\(CQ=2\) で

\(\triangle OPQ=\displaystyle\frac{1}{2}\times 1\times 4=2\)

\(\triangle PAB=\displaystyle\frac{1}{2}\times 5\times 6=15\)

\(\triangle BCQ=\displaystyle\frac{1}{2}\times 4\times 2=4\) より

\(\triangle PBQ=30-(2+15+4)= \)\(9\) ・・・《ア》 

(2)開始時刻から3秒間の \(\triangle PBQ\) の面積の最小・最大

開始時刻から \(t\) 秒後 ( \(0≦t≦3\) ) のとき

\(\triangle OPQ=\displaystyle\frac{1}{2}\times t\times (6-2t)=3t-t^2\)

\(\triangle PAB=\displaystyle\frac{1}{2}\times (6-t)\times 6=18-3t\)

\(\triangle BCQ=\displaystyle\frac{1}{2}\times 4\times 2t=4t\) より

\(\triangle PBQ=30-\left\{(3t-t^2)+(18-3t)+4t\right\} \)

\(=t^2-4t+12\)

\(=(t-2)^2+8\)

\(0≦t≦3\) における最大値・最小値は

\(t=2\) のとき,最小値:\(8\) ・・・《イ》 

\(t=0\) のとき,最大値:\(12\) ・・・《ウエ》 

(3)開始時刻から終了時刻までの \(\triangle PBQ\) の面積の最小・最大

\(0≦t≦3\) のとき(2)より

\(\triangle PBQ=(t-2)^2+8\)

\(3≦t≦6\) のとき

\(\triangle OPQ=\displaystyle\frac{1}{2}\times t\times (2t-6)= t^2-3t\)

\(\triangle PAB=\displaystyle\frac{1}{2}\times (6-t)\times 6=18-3t\)

\(\triangle BCQ=\displaystyle\frac{1}{2}\times 4\times (12-2t)=24-4t\) より

\(\triangle PBQ=30-\left\{(t^2-3t)+(18-3t)+(24-4t)\right\} \)

\(=-t^2+10t-12\)

\(=-(t-5)^2+13\)

よって,\(0≦t≦6\) における最大値・最小値は

\(t=2\) のとき,最小値:\(8\) ・・・《オ》 

\(t=5\) のとき,最大値:\(13\) ・・・《カキ》 

(4)開始時刻から終了時刻までの \(\triangle PBQ\) の面積が10以下

グラフの \(\alpha\) , \(\beta\) を求め,\(\alpha≦t≦\beta\) が条件を満たす時間である.

\(0≦t≦3\) のとき

\(t^2-4t+12=10\)

\(t^2-4t+2=0\)

\(t=2\pm\sqrt{2}\)

\(0≦t≦3\) より \(\alpha=2-\sqrt{2}\)

\(3≦t≦6\) のとき

\(-t^2+10t-12=10\)

\(t^2-10t+22=0\)

\(t=5\pm\sqrt{3}\)

\(3≦t≦6\) より \(\beta=5+\sqrt{3}\)

よって,\(\triangle PBQ\) の面積が10以下となるのは

\(2-\sqrt{2}≦t≦5+\sqrt{3}\)

したがって,\((5+\sqrt{3})-(2-\sqrt{2})=\)\(3-\sqrt{3}+\sqrt{2}\) 秒間・・・《ク〜コ》 

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