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【2023立命館大学】3次方程式と3文字の対称式、対称式、因数分解の利用

複素数と方程式

【2023立命館大学・全学統一方式・文系・第1問[1]】

3次方程式の3つの解について

\(3\) 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の解が \(x=\alpha,\beta,\gamma\) のとき

次の \(2\) つのことが考えられるように!

① 因数分解

② 解と係数の関係

① 方程式の解と因数分解

\(3\) 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の解が \(x=\alpha,\beta,\gamma\) のとき

\(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)

最高次の係数 ” \(a\) ” を忘れやすいので注意!!

② 3次方程式の解と係数の関係

\(3\) 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)  (\(a≠0\))

の \(3\) 解を、\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) とすると

\(\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\)

\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{c}{a}\)

\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{d}{a}\)

3次方程式の解と係数の関係|新潟大学・医
3次方程式の解と係数の関係を利用する入試問題演習。2次試験対策。医学部。数学Ⅱ

\(3\) 文字の対称式

・\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\)

・\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)

解答・解説

\(2x^3+2x^2+5x+7=0\) の \(3\) つの解が \(x=\alpha,\beta,\gamma\) より

解と係数の関係から

\(\alpha+\beta+\gamma=-1\) ・・・[ ア ]

\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{5}{2}\) ・・・ [ イ ]

\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{7}{2}\) ・・・[ ウ ]

 

(1) \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\) より

\(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(-1)^2-2\cdot\displaystyle\frac{5}{2}=\)\(-4\) ・・・[ エ ]

 

(2) \(2x^3+2x^2+5x+7=0\) の \(3\) つの解が \(x=\alpha,\beta,\gamma\) より

\(2x^3+2x^2+5x+7=2(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\) ・・・①

①に \(x=1\) を代入すると

\(2(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=16\)

よって,\((\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)=\)\(-8\) ・・・[ オ ]

展開して解と係数の関係で求めた値を利用してもOK!

ここでは計算量を減らすために,因数分解を利用しました!

(3) \(\alpha+\beta+\gamma=-1\) より

\(\alpha+\beta=-1-\gamma\)

\(\beta+\gamma=-1-\alpha\)

\(\alpha+\gamma=-1-\beta\) より

\((\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\alpha+\gamma)=(-1-\gamma)(-1-\alpha)(-1-\beta)\)

\(=-(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\)

①に \(x=-1\) を代入すると

\(2=-2(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\)

よって,\((\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=-1\)

ゆえに,\((\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\alpha+\gamma)=1\)

また,\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{7}{2}\) より

\(\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}=-\displaystyle\frac{2\gamma}{7}\)

\(\displaystyle\frac{1}{\beta\gamma}=-\displaystyle\frac{2\alpha}{7}\)

\(\displaystyle\frac{1}{\gamma\alpha}=-\displaystyle\frac{2\beta}{7}\)

よって,\(\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta\gamma}+\displaystyle\frac{1}{\gamma\alpha}=-\displaystyle\frac{2}{7}(\alpha+\beta+\gamma)=\displaystyle\frac{2}{7}\)

したがって,

\((\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\alpha+\gamma)\left(\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta\gamma}+\displaystyle\frac{1}{\gamma\alpha}\right)=1\times \displaystyle\frac{2}{7}=\)\(\displaystyle\frac{2}{7}\) ・・・[ カ ]

(4)

\(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)\) より

\(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=(-1)\times \left(-4-\displaystyle\frac{5}{2}\right)+3\times \left(-\displaystyle\frac{7}{2}\right)=\)\(-4\) ・・・[ キ ]

 

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