【2023立命館大学・全学統一方式・文系・第１問[１]】
３次方程式の３つの解について
\(3\) 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の解が \(x=\alpha,\beta,\gamma\) のとき
次の \(2\) つのことが考えられるように！
① 因数分解
② 解と係数の関係
① 方程式の解と因数分解
\(3\) 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) の解が \(x=\alpha,\beta,\gamma\) のとき
\(ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\)
最高次の係数 ” \(a\) ” を忘れやすいので注意！！
② ３次方程式の解と係数の関係
\(3\) 次方程式 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) (\(a≠0\))
の \(3\) 解を、\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\) とすると
\(\alpha+\beta+\gamma=-\displaystyle\frac{b}{a}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{c}{a}\)
\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{d}{a}\)
\(3\) 文字の対称式
・\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)\)
・\(a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\)
解答・解説
\(2x^3+2x^2+5x+7=0\) の \(3\) つの解が \(x=\alpha,\beta,\gamma\) より
解と係数の関係から
\(\alpha+\beta+\gamma=-1\) ・・・[ ア ]
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\displaystyle\frac{5}{2}\) ・・・ [ イ ]
\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{7}{2}\) ・・・[ ウ ]
(１) \(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\) より
\(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(-1)^2-2\cdot\displaystyle\frac{5}{2}=\)\(-4\) ・・・[ エ ]
(２) \(2x^3+2x^2+5x+7=0\) の \(3\) つの解が \(x=\alpha,\beta,\gamma\) より
\(2x^3+2x^2+5x+7=2(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\) ・・・①
①に \(x=1\) を代入すると
\(2(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)=16\)
よって，\((\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)=\)\(-8\) ・・・[ オ ]
展開して解と係数の関係で求めた値を利用してもOK！
ここでは計算量を減らすために，因数分解を利用しました！
(３) \(\alpha+\beta+\gamma=-1\) より
\(\alpha+\beta=-1-\gamma\)
\(\beta+\gamma=-1-\alpha\)
\(\alpha+\gamma=-1-\beta\) より
\((\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\alpha+\gamma)=(-1-\gamma)(-1-\alpha)(-1-\beta)\)
\(=-(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\)
①に \(x=-1\) を代入すると
\(2=-2(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)\)
よって，\((\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=-1\)
ゆえに，\((\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\alpha+\gamma)=1\)
また，\(\alpha\beta\gamma=-\displaystyle\frac{7}{2}\) より
\(\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}=-\displaystyle\frac{2\gamma}{7}\)
\(\displaystyle\frac{1}{\beta\gamma}=-\displaystyle\frac{2\alpha}{7}\)
\(\displaystyle\frac{1}{\gamma\alpha}=-\displaystyle\frac{2\beta}{7}\)
よって，\(\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta\gamma}+\displaystyle\frac{1}{\gamma\alpha}=-\displaystyle\frac{2}{7}(\alpha+\beta+\gamma)=\displaystyle\frac{2}{7}\)
したがって，
\((\alpha+\beta)(\beta+\gamma)(\alpha+\gamma)\left(\displaystyle\frac{1}{\alpha\beta}+\displaystyle\frac{1}{\beta\gamma}+\displaystyle\frac{1}{\gamma\alpha}\right)=1\times \displaystyle\frac{2}{7}=\)\(\displaystyle\frac{2}{7}\) ・・・[ カ ]
(４)
\(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)\) より
\(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=(-1)\times \left(-4-\displaystyle\frac{5}{2}\right)+3\times \left(-\displaystyle\frac{7}{2}\right)=\)\(-4\) ・・・[ キ ]
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