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2014 京都大学|判別式と三角比|基本問題

数学(大学入試問題)

【2014 京都大学】

\(0≦\theta<90°\) とする.\(x\) についての \(4\) 次方程式

\(\left\{x^2-2(\cos \theta)x-\cos \theta+1\right\} \left\{x^2+2(\tan \theta)x+3\right\}=0\)

は虚数解を少なくとも \(1\) つ持つことを示せ.

解答

与式から、

\(x^2-2(\cos \theta)x-\cos \theta+1=0\) ・・・ ①

または

\(x^2+2(\tan \theta)x+3=0\) ・・・ ②

①、②の判別式をそれぞれ \(D_{1}\)、\(D_{2}\) とする.

\(\displaystyle\frac{D_{1}}{4}=\cos^2 \theta-(-\cos \theta+1)=\cos^2 \theta +\cos \theta-1\)

 

\(\displaystyle\frac{D_{2}}{4}=\tan^2 \theta-3\)

 

\(0≦\theta<90°\) において、\(\tan^2 \theta-3<0\) となる \(\theta\) を考えると、

\(0≦\tan \theta<\sqrt{3} \iff 0°≦\theta<60°\)

 

したがって、\(0°≦\theta<60°\) のとき、\(D_{2}<0\) なので、②は虚数解を持つ.

 

また、\(60°≦\theta<90°\) のとき

\(0<\cos \theta≦ \displaystyle\frac{1}{2}\) なので、

\(\displaystyle\frac{D_{1}}{4}=\left(\cos \theta+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{5}{4}≦\left(\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{5}{4}=-\displaystyle\frac{1}{4}\)

すなわち、\(D_{1}<0\) となり、①は虚数解を持つ.

以上より、題意は示された.

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