【2014 京都大学】
\(0≦\theta<90°\) とする．\(x\) についての \(4\) 次方程式
\(\left\{x^2-2(\cos \theta)x-\cos \theta+1\right\} \left\{x^2+2(\tan \theta)x+3\right\}=0\)
は虚数解を少なくとも \(1\) つ持つことを示せ．
解答
与式から、
\(x^2-2(\cos \theta)x-\cos \theta+1=0\) ・・・ ①
または
\(x^2+2(\tan \theta)x+3=0\) ・・・ ②
①、②の判別式をそれぞれ \(D_{1}\)、\(D_{2}\) とする．
\(\displaystyle\frac{D_{1}}{4}=\cos^2 \theta-(-\cos \theta+1)=\cos^2 \theta +\cos \theta-1\)
\(\displaystyle\frac{D_{2}}{4}=\tan^2 \theta-3\)
\(0≦\theta<90°\) において、\(\tan^2 \theta-3<0\) となる \(\theta\) を考えると、
\(0≦\tan \theta<\sqrt{3} \iff 0°≦\theta<60°\)
したがって、\(0°≦\theta<60°\) のとき、\(D_{2}<0\) なので、②は虚数解を持つ．
また、\(60°≦\theta<90°\) のとき
\(0<\cos \theta≦ \displaystyle\frac{1}{2}\) なので、
\(\displaystyle\frac{D_{1}}{4}=\left(\cos \theta+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{5}{4}≦\left(\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{5}{4}=-\displaystyle\frac{1}{4}\)
すなわち、\(D_{1}<0\) となり、①は虚数解を持つ．
以上より、題意は示された．
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