【2023お茶の水女子大学・理・第３問】積分区間にxを含むf(x)｜実数解の個数

解答・解説

(１)　\(y=\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}\) を微分せよ．

\(y^{\prime}=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

(２)　\(0<x≦1\) ，\(\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}<f(x)<x\) が成り立つことを示せ．

\(0<x≦1\) のとき \(g(x)=x-f(x)=x-\displaystyle\int^{x}_{0}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+t^4}} dt\) とおく．

\(g^{\prime}(x)=1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}>0\)

よって \(g(x)\) は単調増加なので，

\(g(x)>g(0)=0-f(0)=0\)

よって \(f(x)<x\)

次に，\(0<x≦1\) のとき \(h(x)=f(x)-\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}=\displaystyle\int^{x}_{0}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+t^4}} dt-\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}\) とおく．

\(h^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

\(0<x≦1\) より \(x^4<x^2\) なので，\(h^{\prime}(x)>0\)

よって \(h(x)\) は単調増加なので，

\(h(x)>h(0)=f(0)-\log{1}=0\)

よって \(\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}<f(x)\)

したがって，\(\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}<f(x)<x\)

(３)　\(x>1\) ，\(y=\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}\) と \(y=f(x)\) は共有点をちょうど \(1\) つもつことを示せ．

\(x>1\) のとき

\(h(x)=f(x)-\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}=\displaystyle\int^{x}_{0}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+t^4}} dt-\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}\) とおく．

\(h^{\prime}(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^4}}-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

\(x>1\) より \(x^4>x^2\) なので，\(h^{\prime}(x)<0\)

よって \(h(x)\) は単調減少となる．

(２) より \(\log{(1+\sqrt{2})}<f(1)\) なので

\(h(1)=f(1)-\log{(1+\sqrt{2})}>0\)

\(x>1\) において \(h(x)\) は単調減少で，\(h(1)>0\) とわかったので，

\(x\) \(\rightarrow\) \(\infty\) のとき \(h(x)\) が負の値になることが分かれば，

\(h(x)=0\) はちょうど \(1\) つの解を持つことが確認できます！

また，\(f(x)=\displaystyle\int^{1}_{0}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+t^4}} dt+\displaystyle\int^{x}_{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+t^4}} dt=f(1)+\displaystyle\int^{x}_{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+t^4}} dt\) であり

\(0<x≦1\) のとき (２) より \(f(1)<1\) ，

また \(1+t^4>t^4\) より \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1+t^4}}<\displaystyle\frac{1}{t^2}\) から

\(f(x)<1+\displaystyle\int^{x}_{1} \displaystyle\frac{1}{t^2}dt\)

\(f(1)<1+\Bigl[-\displaystyle\frac{1}{t}\Bigr]^{x}_{1}=2-\displaystyle\frac{1}{x}<2\) で

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)=\infty\) より

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty} h(x)=-\infty\)

以上から，\(h(x)=0\) は \(x>1\) にただ \(1\) つの解をもつ．

したがって，\(x>1\) において，曲線 \(y=\log{\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}\) と曲線 \(y=f(x)\) は共有点をちょうど \(1\) つもつ．