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2021 大阪市立大学[文系第3問]通過領域(逆像法・逆手流)

数学(大学入試問題)

【2021 大阪市立大学 文系[第3問]】

はじめに

2021年の大阪市立大学・文系の問題です。

2021年の大阪市立大学の問題は、文系の生徒にとっては非常に難しく、数学が苦手な生徒にって、非常に苦戦したようです。

実際に私の生徒も、数学で撃沈した人も・・・。

逆に、共通テストでD・E判定だった生徒が、数学で大逆転をして合格した生徒もいました。

大阪市立大学の問題は差がつく問題が非常に多く、中堅国公立を志望校とする生徒は当然、難関大学を考えている人も、良い演習になりますので、一度チャレンジしてみましょう!

 

2021年度の第3問は、「通過領域」に関する問題です。

通過領域の問題が初めて、考え方をちゃんと理解していない人は、

【頻出】通過領域・逆像法(逆手流)《考え方》

でどのように考えるのか勉強してみてください!



【解答】2021大阪市立大学

\(y=3tx^2-t^3\) より

\(t^3-3x^2t+y=0\) ・・・ ①

題意を満たすためには、

①が異なる 3 つの実数解を持てばよい.

 

①の左辺を \(f(t)\) とおく

\(f^{\prime}(t)=3t^2-3x^2=3(t+x)(t-x)\)

 

(ⅰ) \(x=0\) のとき

\(f^{\prime}(t)=3t^2>0\) より

\(y=f(t)\) は、単調増加なグラフであるから、

\(f(t)=0\) は 1 つしか実数解を持たない

よって不適

 

(ⅱ) \(x≠0\) のとき

(ア) \(x>0\) のとき

\(f(t)=0\) が異なる 3 実解を持つためには、

\(f(-x)>0\) かつ \(f(x)<0\) を満たせばよい

 

(イ) \(x<0\) のとき

\(f(t)=0\) が異なる 3 実解を持つためには、

\(f(-x)<0\) かつ \(f(x)>0\) を満たせばよい

 

\(f(-x)=2x^3+y\)、\(f(x)=-2x^3+y\) より

(ア) \(x>0\) のとき

\(f(-x)=2x^3+y>0\)

\(f(x)=-2x^3+y<0\)

つまり、

\(\begin{cases}x>0\\y>-2x^3\\y<2x^3 \end{cases}\)

 

(イ) \(x<0\) のとき

\(f(-x)=2x^3+y<0\)

\(f(x)=-2x^3+y>0\)

つまり、

\(\begin{cases}x<0\\y<-2x^3\\y>2x^3 \end{cases}\)

 

それぞれ図示すると、

したがって求める領域は、上の斜線部.

ただし、境界線は含まない.

最後に

いかがだったでしょうか?

受験数学ではオーソドックスな問題ではありますが、しっかりと経験したことがないと、なかなか手が出ない問題かもしれません。

しっかりと有名パターンの問題にはしっかり触れておく必要があるため、網羅性が強い問題集として、「標準問題精講」などの問題集をしっかりと仕上げておきましょう!

【差がつく】正領域と負領域の例題と考え方|数学Ⅱ:図形と方程式
直線と線分が交わるための条件範囲について。数学Ⅱの4STEPの問題を例題として正領域・負領域について考え方を説明。差がつく重要入試問題。2次試験対策、難関大学対策。

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