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【2021京都府立大学】x^2-4xy+7y^2+y-14=0を満たす整数解|頻出良問!整数問題

数学(大学入試問題)

【2021京都府立大学】

\(x\) , \(y\) を整数とする.

\(x^2-4xy+7y^2+y-14=0\) を満たす \(x\) と \(y\) の組 \(( x , y )\) をすべて求めよ.

整数解をもつ方程式の考え方

共通テスト、2次試験において、整数解をもつ方程式は頻出です!

しかしある程度の解法パターンが決まっていますので、しっかりとパターン演習をし、実力アップを!

整数解をもつ方程式について、以下の記事でまとめています。受験勉強用としてお役立てください。

【整数問題】整数方程式(積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係)解法まとめ
定期考査から大学受験まででよく出題される頻出テーマである整数方程式。積の形・範囲の絞り込み・解と係数の関係など、様々なアプローチを1つ1つ考え方・見分け方を大切にしながら解説。共通テスト・2次試験整数問題対策。

判別式の利用

整数解をもつ ⇒ 実数解をもつ

※逆は成立しないため、確認作業が必要!

\(x^2-4xy+7y^2+y-14=0\) を \(x\) の \(2\) 次方程式と考え、降べきの順に並べると

\(x^2-4yx+7y^2+y-14=0\)

「 \(x\) は整数解をもつ」 ⇒ 「 \(x\) は実数解をもつ」と考えることができるので

判別式を \(D\) とすると、\(D≧0\) である必要がある

\(D=(-4y)^2-4(7y^2+y-14)≧0\)

\(\iff\) \(-3y^2-y+14≧0\)

\(\iff\) \(3y^2+y-14≦0\)

\(\iff\) \((3y+7)(y-2)≦0\)

\(\iff\) \(-\displaystyle\frac{7}{3}≦y≦2\)

\(y\) は整数であるから、\(y\) の答えの候補は、\(y=-2,-1,0,1,2\)

範囲を絞ることに成功した!

しかしこれは答えの候補であって、それぞれがしっかりと条件を満たすかどうか確認する必要がある!

(2) 解答

\(x^2-4xy+7y^2+y-14=0\) ・・・①

① を \(x\) の \(2\) 次方程式と考え、

判別式を \(D\) とすると、\(D≧0\) である必要がある

\(D=(-4y)^2-4(7y^2+y-14)≧0\)

\(\iff\) \(-3y^2-y+14≧0\)

\(\iff\) \(3y^2+y-14≦0\)

\(\iff\) \((3y+7)(y-2)≦0\)

\(\iff\) \(-\displaystyle\frac{7}{3}≦y≦2\)

\(y\) は整数であるから、\(y = -2 , -1 , 0 , 1 , 2\)

 

①に順に代入すると、

・\(y=-2\) のとき

\(x^2+8x+12=0\) \(\iff\) \((x+2)(x+6)=0\)

よって、\(x=-2,-6\)

・\(y=-1\) のとき

\(x^2+4x-8=0\) \(\iff\) \(x=-2\pm2\sqrt{3}\)

となり整数解とならず不適

・\(y=0\) のとき

\(x^2-14=0\) \(\iff\) \(x=\pm\sqrt{14}\)

となり整数解とならず不適

・\(y=1\) のとき

\(x^2-4x-6=0\) \(\iff\) \(x=2\pm\sqrt{10}\)

となり整数解とならず不適

・\(y=2\) のとき

\(x^2-8x+16=0\) \(\iff\) \((x-4)^2=0\)

よって、\(x=4\)

したがって求める整数の組 \(( x , y )\) は、

\(( x , y ) = ( -6 , -2 ) , ( -2 , -2 ) , ( 4 , 2 )\)

 

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