【2021京都府立大学】
\(x\) , \(y\) を整数とする．
\(x^2-4xy+7y^2+y-14=0\) を満たす \(x\) と \(y\) の組 \(( x , y )\) をすべて求めよ．
整数解をもつ方程式の考え方
共通テスト、２次試験において、整数解をもつ方程式は頻出です！
しかしある程度の解法パターンが決まっていますので、しっかりとパターン演習をし、実力アップを！
整数解をもつ方程式について、以下の記事でまとめています。受験勉強用としてお役立てください。
判別式の利用
整数解をもつ ⇒ 実数解をもつ
※逆は成立しないため、確認作業が必要！
\(x^2-4xy+7y^2+y-14=0\) を \(x\) の \(2\) 次方程式と考え、降べきの順に並べると
\(x^2-4yx+7y^2+y-14=0\)
「 \(x\) は整数解をもつ」 ⇒ 「 \(x\) は実数解をもつ」と考えることができるので
判別式を \(D\) とすると、\(D≧0\) である必要がある
\(D=(-4y)^2-4(7y^2+y-14)≧0\)
\(\iff\) \(-3y^2-y+14≧0\)
\(\iff\) \(3y^2+y-14≦0\)
\(\iff\) \((3y+7)(y-2)≦0\)
\(\iff\) \(-\displaystyle\frac{7}{3}≦y≦2\)
\(y\) は整数であるから、\(y\) の答えの候補は、\(y=-2,-1,0,1,2\)
と範囲を絞ることに成功した！
しかしこれは答えの候補であって、それぞれがしっかりと条件を満たすかどうか確認する必要がある！
(２) 解答
\(x^2-4xy+7y^2+y-14=0\) ・・・①
① を \(x\) の \(2\) 次方程式と考え、
判別式を \(D\) とすると、\(D≧0\) である必要がある
\(D=(-4y)^2-4(7y^2+y-14)≧0\)
\(\iff\) \(-3y^2-y+14≧0\)
\(\iff\) \(3y^2+y-14≦0\)
\(\iff\) \((3y+7)(y-2)≦0\)
\(\iff\) \(-\displaystyle\frac{7}{3}≦y≦2\)
\(y\) は整数であるから、\(y = -2 , -1 , 0 , 1 , 2\)
①に順に代入すると、
・\(y=-2\) のとき
\(x^2+8x+12=0\) \(\iff\) \((x+2)(x+6)=0\)
よって、\(x=-2,-6\)
・\(y=-1\) のとき
\(x^2+4x-8=0\) \(\iff\) \(x=-2\pm2\sqrt{3}\)
となり整数解とならず不適
・\(y=0\) のとき
\(x^2-14=0\) \(\iff\) \(x=\pm\sqrt{14}\)
となり整数解とならず不適
・\(y=1\) のとき
\(x^2-4x-6=0\) \(\iff\) \(x=2\pm\sqrt{10}\)
となり整数解とならず不適
・\(y=2\) のとき
\(x^2-8x+16=0\) \(\iff\) \((x-4)^2=0\)
よって、\(x=4\)
したがって求める整数の組 \(( x , y )\) は、
\(( x , y ) = ( -6 , -2 ) , ( -2 , -2 ) , ( 4 , 2 )\)
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