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【1999お茶の水女子大学・理】2^n+1は15で割り切れないことを示せ

数学(大学入試問題)

【1999お茶の水女子大学・理】

\(n\) を正整数とする.\(2^n+1\) は \(15\) で割り切れないことを示せ.

考え方:整数問題の極意

整数問題の極意は実験!

方針がつかめない場合については、とにかく実験しましょう!

具体的に実験することで、規則や法則をみつけ、答えを予想しましょう!

具体的に実験

具体的に \(n=1,2,3,\cdots\) を \(2^n+1\) に代入し、\(15\) の約数である \(3\) の倍数 or \(5\) の倍数に注目していきます。

実験の結果から、

\(3\) の倍数となるのは、\(n\) が 奇数のとき

\(5\) の倍数となるのは、最初が \(n=2\) で、その後が \(4\) つおきであると予想できる.

仮にこの予想が正しければ、\(3\) の倍数 かつ \(5\) の倍数とはなり得ないため、確かに \(15\) の倍数にならない.

《方針》

① \(2^n+1\) が \(3\) の倍数 ⇒ \(n\) は奇数

② \(2^n+1\) が \(5\) の倍数 ⇒ \(n=4k+2\) ( \(k\) は自然数 )

の①、②を示せば良い

 ① \(2^n+1\) が \(3\) の倍数 ⇒ \(n\) は奇数

対偶の「 \(n\) は偶数 ⇒ \(2^n+1\) は \(3\) の倍数でない 」・・・① を証明すればよい.

 

② \(2^n+1\) が \(5\) の倍数 ⇒ \(n=4k+2\) ( \(k\) は自然数 )

上の①と同じように、対偶を用いても証明できる.

ただここでは、「 \(5\) の倍数 ⇒ \(1\) の位が \(0\) または \(5\) 」であることを利用して証明を考える.

解答

① \(2^n+1\) が \(3\) の倍数 ⇒ \(n\) は奇数

「 \(n\) は偶数 ⇒ \(2^n+1\) は \(3\) の倍数でない 」・・・(☆) を証明する.

自然数 \(m\) を用いて、\(n=2m\) とおける.

\(2^n+1=2^{2m}+1=4^m+1≡1^m+1=2\) ( mod 3 ) となり、\(2^n+1\) は \(3\) の倍数でない.

よって(☆)は成立する.

(☆)の対偶もまた成立するので、(☆)の対偶である

「 \(2^n+1\) が \(3\) の倍数 ⇒ \(n\) は奇数 」・・・① が成り立つ.

 

② \(2^n+1\) が \(5\) の倍数 ⇒ \(n=4k+2\) ( \(k\) は自然数 )

\(2^n\) の \(1\) の位は、「 \(2\)、\(4\)、\(8\)、\(6\) 」を繰り返すので、

\(2^n+1\) の \(1\) の位は、「 \(3\)、\(5\)、\(9\)、\(7\) 」を繰り返す.

つまり、\(2^n+1\) が \(5\) の倍数となるのは、\(k\) を自然数とすると \(n=4k+2=2(2k+1)\) のとき・・・②

 

①、②より、\(2^n+1\) は\(3\) の倍数 かつ \(5\) の倍数とはなり得ない.

すなわち \(15\) の倍数にならない.

 

参考

一の位の規則性・周期性については、下記を参考にしてください!

【常用対数】桁数・最高位・一の位の求め方
常用対数(底を10とする対数)において頻出の、3問(桁数、最高位、一の位の数)のまとめ。 具体例を踏まえながら、考え方を身につけましょう!

 

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