【2014大阪大学・理系】区分求積法｜1/√nの和の整数部分

考え方

$\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}}$  は計算できるんですか？？

具体的にΣを計算して、値を計算することはできませんよ！

えっ！？

値を計算できないのに、整数部分なんて・・・

そんなことはありませんよ！

今回は「計算しなさい」ではなく、「整数部分」を求めればいいだけです。

例えば、$3<a<4$ を満たす $a$ の値は具体的に分からなくても、整数部分は分かりますよね？？

確かに $3<a<4$ のときの整数部分は $3$ と分かりますね！

つまり、不等式で挟んであげればいいってことですね！！

でもどうやって・・・

ここでは、教科書にも載っている頻出のテーマである「区分求積法」を利用して考えましょう！

$y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}$ のグラフと $x$ 軸でできる幅が $1$ の長方形の面積(下図参考)を利用して、不等式を作りましょう！！

解答・解説

$y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}$ のグラフと $x$ 軸，および直線 $x=1$ ，$x=40000$ で囲まれる部分の面積を $S$ とする．

$y=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}$ ( $x>0$ ) は，$y>0$ で単調に減少する関数であり，

$\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}}$ は，横の長さが $1$ ，縦の長さが $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}$ ( $n=1,2,\cdots,40000$ ) の長方形の面積の和であるから，下図より

$S+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{40000}}<\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}}$ かつ $\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}}<$$1+S$

つまり，$S+\displaystyle\frac{1}{200}<\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}}<S+1$

ここで，

$S=\displaystyle\int^{40000}_{1}\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}} dx=\Bigl[2\sqrt{x}\Bigr]^{40000}_{1}=2\cdot(200-1)=398$

したがって，

$398+\displaystyle\frac{1}{200}<\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}}<399$ であるから，

$\displaystyle\sum_{k=1}^{40000}{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}}$ の整数部分は $398$