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【数学Ⅲ】積分解法手順(フローチャート)まとめ|例題・演習

数学(大学入試問題)

数学Ⅲ:積分解法手順

数学Ⅲの基本公式については,「【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ①基本公式確認|x^a、三角・指数・対数関数、置換・部分積分」を確認しましょう!

基本公式以外の積分の問題については,以下の手順で考えていきましょう!

またそれぞれの問題においても,基本的な問題から発展的な問題まで,例題も解説しています。

Q1.三角・指数・対数関数があるか?

・NO 👉 Q2へ

・YES 👉 Q4へ

Q2.根号 ( ルート ) が入っているか?

・NO 👉 Q3へ

・YES 👉 「【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ②根号(ルート)を含む積分」へ

Q3.分数式か?

・NO 👉 数学Ⅱの範囲の積分です!

・YES 👉 「【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ③分数式の積分(log、部分分数分解、tan置換)」へ

Q4.三角関数が入っているか?

・NO 👉 「【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ④指数・対数を含む積分|部分積分」へ

・YES 👉 Q5へ

Q5.三角関数のみか?

・NO 👉 「【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ⑥(三角関数)×(多項式)の積分」へ

・YES 👉 「【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ⑤三角関数のみの積分(置換・半角・積和・sin^nx公式)」へ

まとめ①基本公式確認|x^a、三角・指数・対数関数、置換・部分積分

次の不定積分を求めよ.

① \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{(x\sqrt{x}-1)^2}{x}\enspace dx\)

② \(\displaystyle\int(2x+1)^3\enspace dx\)

③ \(\displaystyle\int\cos(3x+1)\enspace dx\)

④ \(\displaystyle\int e^{1-2x}\enspace dx\)

⑤ \(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\enspace dx\)

⑥ \(\displaystyle\int \displaystyle\sin^3 x\cos x\enspace dx\)

⑦ \(\displaystyle\int \tan x\enspace dx\)

⑧ \(\displaystyle\int \log{x}\enspace dx\)

【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ①基本公式確認|x^a、三角・指数・対数関数、置換・部分積分
数学Ⅲの積分を一度履修した人に対して、復習、演習をするための「積分まとめ」基本的な公式演習から、実際の入試問題まで、有名パターンを網羅。 手順で、どのパターンを使っていくのかの見極めを練習し、積分計算を武器に!

まとめ②根号(ルート)を含む積分

① \(\displaystyle\int x\sqrt{x+1}\enspace dx\)

② \(a\) は正の定数とする.

定積分 \(\displaystyle\int^{a}_{0} \sqrt{a^2-x^2}\enspace dx\) を求めよ.

③ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\enspace dx\)

【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ②根号(ルート)を含む積分
ルート(1次式)、asinθ、x+√(x^2+a)=t の置換積分。有名解法、置換積分の解法手順・考え方のまとめ。数学Ⅲ積分の計算

まとめ③分数式の積分(log、部分分数分解、tan置換)

① \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{2x+1}{x^2+x+1}\enspace dx\)

② \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+3x+2}{x^2+x+1}\enspace dx\)

③ \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x^2+2x}\enspace dx\)

④  \(\displaystyle\int^{4}_{1} \displaystyle\frac{1}{x^2-2x+4}\enspace dx\)

【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ③分数式の積分(log、部分分数分解、tan置換)
logへの積分、次数下げ、因数分解からの部分分数分解、tanθへの置換。 有名解法、分数タイプの積分の解法手順まとめ。数学Ⅲ積分の計算

まとめ④指数・対数を含む積分|部分積分

① \(\displaystyle\int x^2 e^x\enspace dx\)

② \(\displaystyle\int x \log{x}\enspace dx\)

【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ④指数・対数を含む積分|部分積分
(指数・対数関数)×(多項式関数)の積分は部分積分。 数学Ⅲの積分を一度履修した人に対して、復習、演習をするための「積分まとめ」解法手順

まとめ⑤三角関数のみの積分(置換・半角・積和・sin^nx公式)

①〜③の不定積分を求めよ.

① \(\displaystyle\int \displaystyle\sin^3 x\cos x\enspace dx\)

② \(\displaystyle\int \displaystyle\sin^2 x\enspace dx\)

③ \(\displaystyle\int \displaystyle\sin 3x\cos 2x\enspace dx\)

④~⑥の定積分を計算せよ.
④ \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x \enspace dx\)
⑤ \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^5x \enspace dx\)

⑥ \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x\cos^2x \enspace dx\)

《発展問題》

\(\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\sin x+4\cos x}\enspace dx\)

【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ⑤三角関数のみの積分(置換・半角・積和・sin^nx公式)
三角関数のみからなる積分計算。t=sinxの置換、半角の公式の利用、積和の公式の利用、(sinx)^nや(cosx)^nの0からπ/2における積分公式の使い方。 発展問題としてtanx/2の置換。頻出問題のまとめ。数学Ⅲ積分まとめ。

まとめ⑥(三角関数)×(多項式)の積分

① 不定積分 \(\displaystyle\int x\sin x \enspace dx\) を求めよ.

② 不定積分 \(\displaystyle\int \displaystyle\frac{x}{\cos^2x} \enspace dx\) を求めよ.

【数学Ⅲ】積分解法手順まとめ⑥(三角関数)×(多項式)の積分
三角関数と多項式の積の形からなる積分は部分積分を利用。積分解法手順のまとめ

【tanx/2の置換積分】三角関数・数学Ⅲ積分|考え方・例題演習

不定積分 \(\displaystyle\int\displaystyle\frac{5}{3\sin x+4\cos x}\enspace dx\) を求めよ.
【tanx/2の置換積分】三角関数・数学Ⅲ積分|考え方・例題演習
三角関数の積分の最終奥義。t=tanx/2の置換積分。tを用いてsinx、cosx、dxを表すことができる。 経験の差が出る問題。頻出・重要解法。数学Ⅲ・2次試験対策

(sinx)^n、(cosx)^nの積分公式・証明・例題演習(ウォリス積分)

① \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x \enspace dx\)

② \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^5x \enspace dx\)

③ \(\displaystyle\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin^4x\cos^2x \enspace dx\)

【数学Ⅲ】(sinx)^n、(cosx)^nの積分公式・証明・例題演習(ウォリス積分)
三角関数(sin,cos)のn乗の積分公式の証明、例題演習。数学Ⅲ積分。2次試験頻出。ウォリス積分。

 

 

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