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【2021明治大学】ネイピア数eの定義の利用・演習問題|極限値

2021年入試問題

【2021明治大学】極限値を求めよ.

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\displaystyle\frac{n-2}{n+1}\right)^n\)

ネイピア数の定義・定理

自然数 \(n\) に対して,

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n=e\) 

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\displaystyle\frac{1}{○}\right)^{○}\)

” ○ ” が同じ形になり,\(○\rightarrow\infty\) となればOK!

\(5\) つの定理

\(x\) , \(u\) , \(h\) は実数とする.

(1) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x=e \)

(2) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x=e\)

(3) \(\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e\)

(4) \(\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\log(1+u)}{u}=1\)

(5) \(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^h-1}{h}=1\)

定理の証明については,ネイピア数eの定義、5つの定理の証明まとめ|数学Ⅲ:極限を確認してください!

ネイピア数eの定義、5つの定理の証明まとめ|数学Ⅲ:極限
ネイピア数(e=2.718・・・)の定義と、5つの定理についてのまとめ。頻出・重要性質の確認。数学Ⅲ:極限。

解答・解説

\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\displaystyle\frac{n-2}{n+1}\right)^n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1-\displaystyle\frac{3}{n+1}\right)^n\)

\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\left(1-\displaystyle\frac{3}{n+1}\right)^{-\frac{n+1}{3}}\right\}^{-\frac{3n}{n+1}}\)

\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\left(1-\displaystyle\frac{3}{n+1}\right)^{-\frac{n+1}{3}}\right\}^{-\frac{3}{1+\frac{1}{n}}}=e^{-3}=\displaystyle\frac{1}{e^3}\)

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