【2021明治大学】極限値を求めよ．
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\displaystyle\frac{n-2}{n+1}\right)^n\)
ネイピア数の定義・定理
自然数 \(n\) に対して，
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\displaystyle\frac{1}{n}\right)^n=e\)
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1+\displaystyle\frac{1}{○}\right)^{○}\)
” ○ ” が同じ形になり，\(○\rightarrow\infty\) となればOK！
\(5\) つの定理
\(x\) , \(u\) , \(h\) は実数とする．
(１) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x=e \)
(２) \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)^x=e\)
(３) \(\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e\)
(４) \(\displaystyle\lim_{u\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\log(1+u)}{u}=1\)
(５) \(\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\displaystyle\frac{e^h-1}{h}=1\)
定理の証明については，ネイピア数eの定義、５つの定理の証明まとめ｜数学Ⅲ：極限を確認してください！
解答・解説
\(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(\displaystyle\frac{n-2}{n+1}\right)^n=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left(1-\displaystyle\frac{3}{n+1}\right)^n\)
\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\left(1-\displaystyle\frac{3}{n+1}\right)^{-\frac{n+1}{3}}\right\}^{-\frac{3n}{n+1}}\)
\(=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} \left\{\left(1-\displaystyle\frac{3}{n+1}\right)^{-\frac{n+1}{3}}\right\}^{-\frac{3}{1+\frac{1}{n}}}=e^{-3}=\displaystyle\frac{1}{e^3}\)
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