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【フィボナッチ数列の一般項】2022山口大学|数学B:漸化式

数学(大学入試問題)

【2022山口大学】

次の条件にとって定まる数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) がある.

\(a_{1}=1\) , \(a_{2}=1\) , \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\) (\(n=1,2,3,\cdots\))

次の問いに答えなさい.

(1) 漸化式 \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\) を \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\) と変形したとき,定数 \(\alpha\) と \(\beta\) の値を求めなさい.ただし,\(\alpha<\beta\) とする.

(2) \(b_{n}=a_{n+1}-\alpha a_{n}\) (\(n=1,2,3,\cdots\)) とおく.数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) の初項 \(b_{1}\) と一般項 \(b_{n}\) を求めなさい.

(3) 数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項 \(a_{n}\) を求めなさい.

フィボナッチ数列とは

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,・・・

前2つの数字の和が,次の数になるように並べた数列です!

自然界など身の回りにもたくさんある規則・法則性で,入試にもよく出題されつ有名な数列です!

一般項の求め方について

\(a_{1}=1\) , \(a_{2}=1\) , \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\) \(n=1,2,3,\cdot\)

フィボナッチ数列を漸化式で表すと,三項間の漸化式になります。

ですから特性方程式を解いて・・・といういつもの典型問題!

考え方自体はいつも通りの三項間の漸化式の解法と同じですが,値がやや面倒に・・・。

三項間の漸化式の解法が怪しい方は,まずは綺麗な値が出る問題で演習⏬してなれておきましょう!

【漸化式8,9】隣接三項間特性方程式(2実解,重解型)|解法パターン|数学B数列

【漸化式8,9】隣接三項間特性方程式(2実解,重解型)|解法パターン|数学B数列
漸化式の解き方・解法まとめ。隣接三項間特性方程式の異なる2つの実数解,重解型のタイプの一般項の求め方。基本形へ帰着させるために、特性方程式を解く。 頻出・重要問題。定期考査、大学入試共通テスト、2次試験対策。

解答・解説

(1)

(1) 漸化式 \(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\) を \(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\) と変形したとき,定数 \(\alpha\) と \(\beta\) の値を求めなさい.ただし,\(\alpha<\beta\) とする.

\(a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})\)

\(\iff\) \(a_{n+2}=(\alpha+\beta)a_{n+1}-\alpha\beta a_{n}\)

であるから,\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\) より

\(\alpha+\beta=1\) , \(\alpha\beta=-1\)

解と係数の関係より,\(\alpha\) , \(\beta\) は \(2\) 次方程式

\(x^2-x-1=0\) の解である.

よって,\(\alpha<\beta\) であるから

\(\alpha=\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) , \(\beta=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

(2)

(2) \(b_{n}=a_{n+1}-\alpha a_{n}\) (\(n=1,2,3,\cdots\)) とおく.数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) の初項 \(b_{1}\) と一般項 \(b_{n}\) を求めなさい.

(1)より

\(b_{1}=a_{2}-\alpha a_{1}=1-\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\cdot1=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

よって,\(b_{1}=\beta=\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

また,(1)より \(b_{n+1}=\beta b_{n}\) であり

数列 \(\left\{b_{n}\right\}\) は初項:\(\beta\) ,公比:\(\beta\) の等比数列となるので,

\(b_{n}=\beta\cdot\beta^{n-1}=\beta^n\)

したがって,\(b_{n}=\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\)

(3)

(3) 数列 \(\left\{a_{n}\right\}\) の一般項 \(a_{n}\) を求めなさい.

(2)より,\(a_{n+1}-\alpha a_{n}=\beta^n\) ・・・①

また,\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)

\(\iff\) \(a_{n+2}-\beta a_{n+1}=\alpha(a_{n+1}-\beta a_{n})\)

\(c_{n}=a_{n+1}-\beta a_{n}\) とおくと,

\(c_{1}=a_{2}-\beta a_{1}=1-\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\cdot1=\alpha\)

また,\(c_{n+1}=\alpha c_{n}\) となり,(2)と同様に考えて

\(c_{n}=\alpha^n\)

つまり,\(a_{n+1}-\beta a_{n}=\alpha^n\) ・・・②

①ー②より

\((\beta-\alpha)a_{n}=\beta^n-\alpha^n\)

\(a_{n}=\displaystyle\frac{\beta^n-\alpha^n}{\beta-\alpha}\)

したがって,\(a_{n}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\displaystyle\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}\)

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