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【2019京都大学・理系】cosθは無理数,cos2θとcos3θがともに有理数となるθ

数学(大学入試問題)

【2019京都大学・理系】

\(0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) とする.\(\cos \theta\) は有理数でないが,\(\cos 2\theta\) と \(\cos 3\theta\) がともに有理数となるような \(\theta\) の値を求めよ.

ただし,\(p\) が素数のとき,\(\sqrt{p}\) が有理数でないことは証明なしに用いてよい.

解答・解説

\(p\) , \(q\) を有理数として

\(\cos 2\theta=2\cos^2 \theta-1=p\) ・・・①

\(\cos 3\theta=4\cos^3 \theta-3\cos \theta=q\) ・・・②

とおく.

①より,\(\cos^2 \theta=\displaystyle\frac{p+1}{2}\) を②に代入すると

\(4\cdot\displaystyle\frac{p+1}{2}\cdot\cos \theta-3\cos \theta=q\)

\((2p-1)\cos \theta=q\)

\(2p-1\not=0\) と仮定すると

\(\cos \theta=\displaystyle\frac{q}{2p-1}\) となり

\(\cos \theta\) が有理数でないことに反する.

よって,\(2p-1=0\) \(\iff\) \(p=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(\cos 2\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\)

\(0<\theta<\displaystyle\frac{\pi}{2}\) より\(0<2\theta<\pi\) なので

\(2\theta=\displaystyle\frac{\pi}{3}\) \(\iff\) \(\theta =\displaystyle\frac{\pi}{6}\)

このとき,\(\cos \theta=\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\) , \(\cos 2\theta=\displaystyle\frac{1}{2}\) , \(\cos 3\theta=0\) となり \(\sqrt{3}\) は無理数であるから題意を満たす.

したがって,\(\theta=\displaystyle\frac{\pi}{6}\)

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