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【2021早稲田大学】n進法2021(n)で表されるが素数となるnの最小値|整数

数学(大学入試問題)

【2021早稲田大学】

\(n\) 進法で \(2021_{(n)}\) と表される数が、素数であるような \(n\) の最小値を十進法で表すと [ ア ] となり、合成数である ( 素数ではない ) ような \(n\) の最小値を十進法で表すと [ イ ] となる.

 

\(n\) 進法・\(n\) 進数について

数を表す際に、普段私たちは位取りの基礎を \(10\) とする \(10\) 進法を用いています。

例えば、\(10\) 進法で表された \(1234\) の意味は

\(1234=1\times 10^3+2\times 10^2+3\times 10^1+4\times 10^0\)

つまり、\(10\) 進法では、位として \(10^0\) の位、\(10^1\) の位、\(10^2\) の位、\(10^3\) の位、・・・を用いて表しています。

同様に、位取りの基礎を \(2\) とする表し方を \(2\) 進法という。

例えば、\(2\) 進法で表された \(1010\) の意味は

\(1010=1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0\) を表し、これは \(10\) 進法の数 \(13\) となる。

一般に、位取りの基礎を \(n\) として表す方法を \(n\) 進法といい、\(n\) 進法で表された数を \(n\) 進数という.また、位取りの基礎となる数 \(n\) をという。

ただし、\(n\) は \(2\) 以上の整数で、\(n\) 進数の各位の数字は、\(0\) 以上 \(n-1\) 以下の整数

解答

\(n\) 進法\(2021_{(n)} \)より、\(n≧3\) ・・・①

このとき

\(2021_{(n)}=2\times n^3+0\times n^2+2\times n^1+1\times n^0=2n^3+2n+1\)

①より順に調べていくと、

・\(n=3\) のとき \(2021_{(n)}=61 となりこれは素数である.

・\(n=4\) のとき \(2021_{(n)}=137 となりこれは素数である.

・\(n=5\) のとき \(2021_{(n)}=261=3\times 87 となりこれは合成数である.

したがって、求める \(n\) は[ ア ] \(=3\)、[ イ ] \(=5\)

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