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【頻出】2sin10°を解にもつ3次方程式を求めよ

数学(大学入試問題)
\(2\sin10°\) を解にもつ \(3\) 次方程式を求めよ.

三角関数の問題において、超有名頻出問題です。

経験したことがある人は楽勝問題!

ただ初見の方にとってはどこから手をつけて良いか、経験の差がはっきりとつく問題になります。

類題が様々な大学で出題されていますので、しっかりと解法をマスターしましょう!

考え方

三倍角の公式の利用

\(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)

\(\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\)

本問は \(10°\) であることに注目!

\(3\times10°=30°\) は有名角であり、\(\sin30°=\displaystyle\frac{1}{2}\) であることを利用して考えましょう!

解答

\(\sin3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\) において \(\theta=10°\) とすると、

\(\sin3\theta=\sin30°=\displaystyle\frac{1}{2}\) より、

\(\displaystyle\frac{1}{2}=3\sin\theta-4\sin^3\theta\)

\(8\sin^3\theta-6\sin\theta+1=0\)

\((2\sin\theta)^3-3(2\sin\theta)+1=0\)

したがって、\(x=2\sin\theta=2\sin10°\) を解にもつ \(3\) 次方程式は、

\(x^3-3x+1=0\)

 

cos20°cos140°cos260°の値を求めよ【2019藤田医科大学・医】
複素数の問題としても類題が見られる頻出の3倍角の公式を利用した問題。数学Ⅱ三角関数、3つの解と係数の関係の利用。医学部、gmarch 関関同立、2次試験対策。

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