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2021 東京海洋大学|背理法・倍数証明・合同式の利用

数学(大学入試問題)

【2021 東京海洋大学】

(1) 自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) が等式 \(a^2+b^2=c^2\) を満たすとき、

\(a\)、\(b\)、\(c\) の少なくとも \(1\) つは \(5\) の倍数であることを示せ.

(2) \(p\) が \(5\) 以上の素数であるとき、\(p^2-1\) は \(6\) の倍数であることを示せ.

(3) \(p\) が \(5\) 以上の素数であるとき、\(p^2-1\) は \(24\) の倍数であることを示せ.

倍数証明について

「〇〇の倍数」という問題に対しては、合同式を利用すると解答が非常にスッキリします。

合同式について学習が十分でない方は、

合同式とは?合同式の基本性質を理解し、使えるようにする

合同式(基本編)基本的な問題で合同式を使う練習

のページで合同式について理解した上で、この問題を改めて考えてみましょう!

解答・考え方

(1) 背理法を用いて証明する.

\(a\)、\(b\)、\(c\) のすべてが \(5\) の倍数でない仮定する.

このとき、法を \(5\) として

\(a≡±1 , ±2\) より、\(a^2≡1 , 4\)

\(b\)、\(c\) についても同様に、

\(b^2≡1 , 4\)、\(c^2≡1 , 4\)

よって、\(a^2+b^2≡1+1 , 1+4 , 4+1 , 4+4\)

つまり、\(a^2≡2 , 0 , 0 , 3\) となるが、\(c^2≡1 , 4\) であるため

等式 \(a^2+b^2=c^2\) を満たす自然数 \(a\)、\(b\)、\(c\) は存在しない.

ゆえに矛盾する.

したがって、\(a\)、\(b\)、\(c\) の少なくとも \(1\) つは \(5\) の倍数である

(2)

\(6\) の倍数を示す

→ \(2\) と \(3\) が互いに素より

「\(2\) の倍数」かつ「\(3\) の倍数」

であることを示せばよい.

\(p\) は \(5\) 以上の素数であるから、必ず奇数となる.

\(p^2\) も奇数であるので、\(p^2-1\) は偶数

よって、\(p^2-1\) は \(2\) の倍数である・・・①

 

また、\(p\) は \(5\) 以上の素数であるから、\(3\) の倍数でない.

つまり、\(p≡±1\) (\(mod 3\)) なので

\(p^2-1≡0\) (\(mod 3\))

よって、\(p^2-1\) は \(3\) の倍数である・・・②

 

\(2\) と \(3\) が互いに素より

①、②から、\(p^2-1\) は \(6\) の倍数である.

(3)

\(24\) の倍数を示す

→ \(3\) と \(8\) が互いに素より

「\(3\) の倍数」かつ「\(8\) の倍数」

であることを示せばよい.

\(p\) は \(5\) 以上の素数であるから、必ず奇数となる.

つまり、\(p≡±1 , ±3\) (\(mod 8\))

このいずれにおいても、\(p^2-1≡0\) (\(mod 8\))

となるので、\(p^2-1\) は \(8\) の倍数である・・・③

 

\(3\) と \(8\) が互いに素より

②、③から、\(p^2-1\) は \(24\) の倍数である.



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