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【2022共通テスト】数学ⅡB:第5問平面ベクトル|円と直線、点の存在

数学(大学入試問題)

【2022数学ⅡB第5問平面ベクトル】

(1)問題と解答・解説

(1)解答・解説

\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos\angle AOB\) であり,

\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=1\),\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\displaystyle\frac{2}{3}\) より

\(\cos\angle AOB=-\displaystyle\frac{2}{3}\) ・・・《アイウ》

次に,点 \(P\) は線分 \(AB\) を \(t : 1-t\) に内分するので,

\(\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)

となる.よって実数 \(k\) を用いて,\(\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}\) と表せるので,

\(\overrightarrow{OQ}=(k-kt)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\) ・・・《エ:① , オ:⓪》

\(\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OA}\) より

\(\overrightarrow{CQ}=(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\) ・・・《カ:④ , キ:⓪》

\(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OP}\) \(\iff\) \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=0\) より

\(\overrightarrow{OA}\cdot\left\{(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\right\}=0\)

\((1-t)\left|\overrightarrow{}\right|^2+t\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)

\(1-t-\displaystyle\frac{2}{3}t=0\)

よって,\(t=\displaystyle\frac{3}{5}\) ・・・《クケ》

(2)問題と解答・解説

(2)解答・解説

\(\angle OCQ\) が直角のとき

\(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{CQ}=0\)

\(-\overrightarrow{OA}\cdot\left\{(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\right\}=0\)

\(-(k-kt+1)\left|\overrightarrow{OA}\right|^2-kt\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)

\(-k+kt-1+\displaystyle\frac{2}{3}kt=0\)

\((5t-3)k=3\)

\(t\not=\displaystyle\frac{3}{5}\) より,\(k=\displaystyle\frac{3}{5t-3}\) ・・・《コサシ》

\(\angle OCQ\) が直角であるから,

点 \(Q\) は点 \(O\) を中心とした半径 \(1\) の円における

点 \(C\) での接線上にある

( ⅰ ) \(0<t<\displaystyle\frac{3}{5}\) のとき

\(0°<\angle AOP<90°\) より

点 \(Q\) は ③ \(D_{2}\) に含まれ,かつ \(E_{2}\) に含まれる・・・《ス》

 

( ⅱ ) \(\displaystyle\frac{3}{5}<t<1\) のとき

\(90°<\angle AOP<\angle AOB\) より

点 \(Q\) は ⓪ \(D_{1}\) に含まれ,かつ \(E_{1}\) に含まれる・・・《セ》

 

(3)問題と解答・解説

(3)解答・解説

\(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき \(k=\displaystyle\frac{3}{5k-3}\) より

\(k=-6\) である.

よって,\(\overrightarrow{OQ}=-6\overrightarrow{OP}\) より

\(\overrightarrow{OQ}=-6\left(\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\right)\)

\(=-3\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}\)

\(\left|\overrightarrow{OQ}\right|^2=9\left(\left|\overrightarrow{OA}\right|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\left|\overrightarrow{OB}\right|^2\right)=6\)

したがって,\(\left|\overrightarrow{OQ}\right|=\sqrt{6}\) ・・・《ソ》

直線 \(OA\) に関して,\(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき点 \(Q\) と対称な点を \(R\) とすると,

\(\overrightarrow{CR}=-\overrightarrow{CQ}\) ・・・《タ》

\(=-\left(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OC}\right)\)

\(=-\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OC}\)

\(=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\) ・・・《チツ》

これが (1) で求めた \(\overrightarrow{CQ}=(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\) と一致するとき,\(\overrightarrow{OA}\) と\(\overrightarrow{OB}\) は一次独立なベクトルであるから,

\(\begin{cases}k-kt+1=2\\kt=3\end{cases}\)

よって,\(k=4\) , \(t=\displaystyle\frac{3}{4}\) ・・・《テト》

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