【2022数学ⅡB第５問平面ベクトル】
(１)問題と解答・解説
(１)解答・解説
\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{OB}\right|\cos\angle AOB\) であり，
\(\left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{OB}\right|=1\)，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\displaystyle\frac{2}{3}\) より
\(\cos\angle AOB=-\displaystyle\frac{2}{3}\) ・・・《アイウ》
次に，点 \(P\) は線分 \(AB\) を \(t : 1-t\) に内分するので，
\(\overrightarrow{OP}=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\)
となる．よって実数 \(k\) を用いて，\(\overrightarrow{OQ}=k\overrightarrow{OP}\) と表せるので，
\(\overrightarrow{OQ}=(k-kt)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\) ・・・《エ：① , オ：⓪》
\(\overrightarrow{CQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OA}\) より
\(\overrightarrow{CQ}=(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\) ・・・《カ：④ , キ：⓪》
\(\overrightarrow{OA}\perp\overrightarrow{OP}\) \(\iff\) \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP}=0\) より
\(\overrightarrow{OA}\cdot\left\{(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}\right\}=0\)
\((1-t)\left|\overrightarrow{}\right|^2+t\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)
\(1-t-\displaystyle\frac{2}{3}t=0\)
よって，\(t=\displaystyle\frac{3}{5}\) ・・・《クケ》
(２)問題と解答・解説
(２)解答・解説
\(\angle OCQ\) が直角のとき
\(\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{CQ}=0\)
\(-\overrightarrow{OA}\cdot\left\{(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\right\}=0\)
\(-(k-kt+1)\left|\overrightarrow{OA}\right|^2-kt\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\)
\(-k+kt-1+\displaystyle\frac{2}{3}kt=0\)
\((5t-3)k=3\)
\(t\not=\displaystyle\frac{3}{5}\) より，\(k=\displaystyle\frac{3}{5t-3}\) ・・・《コサシ》
\(\angle OCQ\) が直角であるから，
点 \(Q\) は点 \(O\) を中心とした半径 \(1\) の円における
点 \(C\) での接線上にある
( ⅰ ) \(0<t<\displaystyle\frac{3}{5}\) のとき
\(0°<\angle AOP<90°\) より
点 \(Q\) は ③ \(D_{2}\) に含まれ，かつ \(E_{2}\) に含まれる・・・《ス》
( ⅱ ) \(\displaystyle\frac{3}{5}<t<1\) のとき
\(90°<\angle AOP<\angle AOB\) より
点 \(Q\) は ⓪ \(D_{1}\) に含まれ，かつ \(E_{1}\) に含まれる・・・《セ》
(３)問題と解答・解説
(３)解答・解説
\(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき \(k=\displaystyle\frac{3}{5k-3}\) より
\(k=-6\) である．
よって，\(\overrightarrow{OQ}=-6\overrightarrow{OP}\) より
\(\overrightarrow{OQ}=-6\left(\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\displaystyle\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\right)\)
\(=-3\overrightarrow{OA}-3\overrightarrow{OB}\)
\(\left|\overrightarrow{OQ}\right|^2=9\left(\left|\overrightarrow{OA}\right|^2+2\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\left|\overrightarrow{OB}\right|^2\right)=6\)
したがって，\(\left|\overrightarrow{OQ}\right|=\sqrt{6}\) ・・・《ソ》
直線 \(OA\) に関して，\(t=\displaystyle\frac{1}{2}\) のとき点 \(Q\) と対称な点を \(R\) とすると，
\(\overrightarrow{CR}=-\overrightarrow{CQ}\) ・・・《タ》
\(=-\left(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OC}\right)\)
\(=-\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OC}\)
\(=2\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\) ・・・《チツ》
これが (１) で求めた \(\overrightarrow{CQ}=(k-kt+1)\overrightarrow{OA}+kt\overrightarrow{OB}\) と一致するとき，\(\overrightarrow{OA}\) と\(\overrightarrow{OB}\) は一次独立なベクトルであるから，
\(\begin{cases}k-kt+1=2\\kt=3\end{cases}\)
よって，\(k=4\) , \(t=\displaystyle\frac{3}{4}\) ・・・《テト》
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