【2020奈良県立医科大学・医・第5問】
実数全体で定義された連続関数 f(x) が以下の 2 条件をみたしているとする.
・条件( ⅰ ):任意の x に対して f(x)≧0
・条件( ⅱ ):任意の x\not=0 と任意の \alpha>1 に対して f(\alpha x)>\alpha f(x)
(1) 条件( ⅱ )を用いて,任意の \beta ( 0<\beta<1 ) に対して \beta f(1)>f(\beta) となることを示せ.
(2) f(0) の値を求めよ.
(3) x>y>0 に対し f(x)>f(y) が成り立つことを示せ.
解答・解説
(1) \beta f(1)>f(\beta) となることの証明
\beta を 0<\beta<1 をみたす任意の実数とする.
このとき \alpha=\displaystyle\frac{1}{\beta} とすると \alpha>1
x\not=0 のとき条件( ⅱ )より
f\left(\displaystyle\frac{x}{\beta}\right)>\displaystyle\frac{1}{\beta}f(x)
さらに,\beta\not=0 より x=\beta とすると
f\left(\displaystyle\frac{\beta}{\beta}\right)>\displaystyle\frac{1}{\beta}f(\beta)
\iff \beta f(1)>f(\beta) ( ∵ \beta>0 )
よって題意は示された.
(2) f(0) の値
f(x) は実数全体で定義された連続関数であるから,
f(0)=\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}f(\beta) となる.
(1)の結果と条件( ⅰ )より
0≦f(\beta)<\beta f(1)
よって,
0≦\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}f(\beta)<\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}\beta f(1)=0
はさみうちの原理から
f(0)=\displaystyle\lim_{\beta\rightarrow +0}f(\beta)=0
したがって,f(0)=0
(3) f(x)>f(y) となる証明
x>y>0 より
\displaystyle\frac{x}{y}>1 かつ y\not=0
よって条件( ⅱ )より
f(x)=f\left(\displaystyle\frac{x}{y}\cdot y\right)>\displaystyle\frac{x}{y}f(y)>f(y)
したがって,f(x)>f(y) が成り立つ.
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