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cos2π/7+cos4π/7+cos6π/7の値|2つの解法(ド・モアブルの定理、積和の公式)

複素数平面まとめ(数Ⅲ)
\(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}\) の値を求めよ.

考え方

方針Ⅰ:ド・モアブルの定理、1のn乗根の性質利用

ド・モアブルの定理

\(n\) が整数のとき

\((\cos \theta+i\sin \theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)

\(z=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+i\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\) とおき、\(z^7=1\) について考える.

1 の n 乗根については、

【数Ⅲ】複素数平面まとめ②(1のn乗根について)|入試問題演習

によく使う性質等をまとめています.

複素数平面においては頻出テーマになりますので、方針が見えない人は必ず 1 の n 乗根について確認しましょう!

 

方針Ⅱ:三角関数の積和の公式を利用

積和の公式

\(\sin \alpha\cos \beta=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)\right\}\)

与式に \(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\) をかけると・・・

解法Ⅰ:複素数平面(ド・モアブルの定理の利用)

\(z=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+i\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\) とおく.

ド・モアブルの定理から、

\(z^7=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1\) より、

\(z^7-1=0\)

\(\iff (z-1)(z^6+z^5+ z^4+ z^3+ z^2+ z+1)=0\)

\(z\not=1\) なので、

\( z^6+z^5+ z^4+ z^3+ z^2+ z+1=0 \cdots ①\)

ここで、①の実部に注目すると、ド・モアブルの定理より、

\(\cos \displaystyle\frac{12\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{10\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{8\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+1=0 \cdots ②\)

\(\cos \displaystyle\frac{12\pi}{7}=\cos \left(2\pi-\displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)=\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}\)、

\(\cos \displaystyle\frac{10\pi}{7}=\cos \left(2\pi-\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)=\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}\)、

\(\cos \displaystyle\frac{8\pi}{7}=\cos \left(2\pi-\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)=\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}\) となるので、②より

\(2\left(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)+1=0\)

したがって、\(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}=-\displaystyle\frac{1}{2}\)

 

解法Ⅱ:積和の公式の利用

\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\times\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}=\displaystyle\frac{1}{2}\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7} \cdots ①\)

 

\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\times\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}\\=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin \left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}+\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)+ \sin \left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}-\displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)\right\}\\=\displaystyle\frac{1}{2}\left (\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\right) \cdots ②\)

 

\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\times\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}\\=\displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin \left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}+\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)+ \sin \left(\displaystyle\frac{2\pi}{7}-\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)\right\}\\=\displaystyle\frac{1}{2}\left (\sin \displaystyle\frac{8\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)\)

ここで、\(\sin \displaystyle\frac{8\pi}{7}=\sin \left(2\pi-\displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)=-\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}\) より、

\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\times\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}=\displaystyle\frac{1}{2}\left (-\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7}\right) \cdots ③\)

 

①+②+③より

\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\left(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}\right)\\= \displaystyle\frac{1}{2}\left\{\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\left(\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\right)+\left (-\sin \displaystyle\frac{6\pi}{7}-\sin \displaystyle\frac{4\pi}{7}\right)\right\}\\=-\displaystyle\frac {1}{2}\sin  \displaystyle\frac{2\pi}{7}\)

\(\sin \displaystyle\frac{2\pi}{7}\not=0\) より

\(\cos \displaystyle\frac{2\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{4\pi}{7}+\cos \displaystyle\frac{6\pi}{7}=-\displaystyle\frac{1}{2}\)

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